오늘까지 마감할 원고가 하나 있어서 이제서야 강의노트 올립니다.

일단 제가 새로 편집하거나 손대지 않고 그날 강의하면서 적었던 노트 그대로 PDF 파일로 변환했습니다.

(세 개의 파일을 알집으로 압축했습니다.)

나중에 기회가 되면 다시 정리해서 올리는 것도 괜찮아 보입니다.

글씨가 예쁘지 않아서 제가 봐도 좀...민망하네요..^^

 

PDF 파일은 용지방향이 가로로 되어 있습니다.

그래서 파일 열어 보시면 오른쪽으로 90도(=pi/2) 돌아가 있을 수도 있습니다. 이 때는 아크로벳의 명령줄에서

보기(V) -> 보기회전(V)으로 들어가시면 문서 전체를 회전시킬 수 있습니다.

 

이왕 강의노트 올리는 김에 지난 1회 강의 내용을 간략하게 요약하면 다음과 같습니다.

 

<수와 식>

곱셈공식과 인수분해가 중요합니다. 특히 완전제곱에 유의하세요. 고등학교 다항식은 2차식이 가장 중요합니다. 2차식만 제대로 알면 3차 이상도 비슷하게 다룰 수 있습니다.

 

<방정식과 부등식>

역시 2차방정식이 가장 중요합니다. 물론 여기서도 완전제곱이 결정적인 역할을 합니다. 그냥 근의 공식을 외는 것보다 방정식을 완전제곱으로 바꾸는 과정을 항상 생각하시는 게 2차방정식의 본질을 이해하는 데에 훨씬 더 도움이 됩니다.

그리고 방정식은 항상 그래프와 관련지어서 생각할 수 있습니다.

대수적인 방정식과 기하학적인 그래프를 하나의 세트로 엮어서 복습하시기 바랍니다.

부등식은 방정식을 풀 줄 알면 거의 푼 거나 다름없죠.

대부분의 부등식은 그래프를 그려 보는 게 좋습니다.

 

고차방정식과 고차부등식도 근본적으로는 2차방정식/부등식과 같습니다. 다만 근을 구할 때 인수분해 하기가 더 어렵기 때문에 고난도 기술을 이용해야 하는 경우들이 많습니다.(이건 강의에서 뺐습니다.)

 

도형의 방정식을 따로 하지는 않았는데요.

그 중에서 평행이동과 대칭이동을 중요하게 했습니다.

이 관계들은 수학 전반에 걸쳐서 두루 적용되기 때문에 알면 아는 만큼 편합니다.

 

<함수>

함수의 정의와 관련된 세부사항은 강의에서 거의 생략했는데요.

한번쯤 교재의 내용을 읽어보시기 바랍니다.

강의에서 특히 강조한 부분은 합성함수와 역함수였습니다.

이 둘은 이후 수학과정 내내 등장하는 개념이라 피할 길이 없습니다.

합성함수는 미분에서도 중요하게 쓰입니다.

늘상 하는 미분의 대부분은 합성함수 미분이라고 해도 과언이 아니겠네요.

 

2차함수, 유리함수, 무리함수는 각각의 기본형과 그 기본형을 평행이동하여 얻은 일반형 사이의 관계만 알면 됩니다. 요컨대 함수의 기본적인 모양만 아셔도 충분합니다.

 

삼각함수를 하기 전에 호도법을 간단하게 배웠습니다.

처음엔 호도법이 익숙하지 않을 겁니다. 저도 옛날엔 그랬거든요.

pi=180도 인 것은 알겠는데 그 때 저는 pi가 무슨 특별한 기호인양 착각했습니다. 그래서 3.14=180도 라는 걸 알았을 때 무척 놀랐습니다.

호도법에서는 각도가 호의 길에에 대한 반지름의 비율로 주어지니까, 반지름이 1인 원의 호가 바로 각도에 해당한다고도 할 수 있습니다.

 

삼각함수는 우선 정의가 중요하죠. sin, cos의 정의를 헷갈리면 안 됩니다.

나중에 물리에서 보면 높이=빗변의 사인, 밑변=빗변의 코사인 이라는 관계를 무수히 많이 활용합니다.

 

그리고 삼각함수에서 처음 고생하는 대목이 일반각의 삼각함수입니다.

일반각도에서는 기하학적으로 삼각함수를 정의할 수 없습니다. 그래서 좌표를 도입하여 확장시키죠. 일반각의 삼각함수를 직관적으로 이해하려고 하면 오히려 더 복잡해집니다. 저도 고딩 때 그것 때문에 고생했습니다. 쓸데없는 고민으로 시간을 낭비한 셈이죠.

좌표평면 위에 원을 하나 그려 놓고 일반각의 삼각함수를 생각해 보면 삼각함수의 기본성질들은 쉽게 얻을 수 있습니다. 공부 못하는 학생들은 항상 그런 성질들을 꼭 외려고만 하는데요. 애초에 일반각이 어떻게 정의되는지 그 원리만 알면 절대로 외울 이유가 없습니다.

 

삼각함수의 그래프는 잘 봐 두세요.

 

지수함수를 다룰 때는 지수법칙이 우선 중요합니다.

지수법칙이 자연수에서 정수로, 다시 실수로 확장되었습니다.

그러나 직관적으로 이해하기는 어렵지 않을 겁니다.

지수함수의 기본적인 모양을 기억해 두세요.

항상 가장 단순한 모양으로부터 평행이동과 대칭관계를 이용해서

온갖 복잡한 모양들이 유도된다는 점을 잊지 마세요.

 

그리고 로그는 지수의 역산으로 도입되었습니다.

이것을 함수로 만든 로그함수는 지수함수의 역함수입니다.

그래서 이 두 함수는 y=x라는 직선에 대해 대칭입니다.

로그의 기본성질은 무척 중요합니다.

곱의 로그가 합으로 갈라진다는 성질은 로그에만 있는 성질입니다.

 

지수와 로그를 빼면 이공계 수학은 남는 게 없습니다.

그래서 삼각함수 및 지수 로그를 미분하고 적분하는 것이 이공계 수학의 백미라고 할 수 있습니다.

 

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다음 시간에는 대망의 미분을 배웁니다.

첫 시간에는 처음으로 소개해야만 하는 내용들이 많아서 많은 분량을 깊지 않게 다룰 수밖에 없었는데요. 그날 그렇게 진도를 나간 덕분에 2월달에는 미분과 적분에 집중할 수 있을 것 같습니다. 적어도 1월보다는 더 재미있을 겁니다.

 

미분은 함수의 극한으로 정의된 양이기 때문에 우선 함수의 극한이 무엇인지를 배웁니다. 대략 1시간 정도면 되지 않을까 싶네요. 함수의 극한과 관련해서 중요한 내용이 함수의 연속성인데요. 그 자체로 중요하지만 미적분과는 직결되지 않기 때문에 간단히 넘어갈 생각입니다.

그리고 극한에 관한 엄밀한 정의는 대학교 가서 배웁니다. 고등학교에서 가르치는 극한의 개념과 성질은 좀...약간 구라죠.

 

미분에 관한 한 2월달에는 정의와 기본성질만 집중적으로 할 생각입니다. 이 교재는 인문계 수학 내용이라 다항함수의 미분만 나옵니다. 처음 미분할 땐 그정도로 족하기도 합니다.

 

적분은 대개 부정적분부터 먼저 가르치는데요.

저는 적분이 왜 미분과 불가분의 관계인지 그 얘기부터 하려고 합니다.

그리고 적분도 일단은 다항함수의 적분과 기본적인 적분법을 다룹니다.

 

3월~4월에는 삼각함수와 지수로그함수의 미적분을 배웁니다.

그리고 보다 고급스럽고 실전에서 많이 쓰이는 미분과 적분의 현란한 테크닉을 배웁니다.

 

제 짐작에 적분의 참뜻을 체감하려면 아마도 대학수학의 공간적분 정도는 해야 하지 않을까 싶습니다. 그 때 쯤 되면 적분과 미분이 왜 물리학에서 필수불가결한지 보다 분명해질 겁니다.

 

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모두들 추운데 고생많으셨구요.

저도 강의하면서 기초과학에 종사하는 사람으로서의 보람을 느꼈습니다.

그리고 전승철 차장님, 박용태 pd님 등 많은 분들이 애쓰신 덕분에 제가 강의 준비에만 몰두할 수 있었던 것도 무척 고맙게 생각합니다.

2월달에도 모두 건강한 모습으로 다시 뵙겠습니다.