그저께 있었던 2회 강좌 강의노트입니다. (pdf 형식)

제가 중간에 노트 파일을 분할하지 않아서 1, 2교시 강의노트가 하나의 파일에 들어가 있습니다.

그래서 총 2개의 파일만 있습니다.

지난 시간에 했던 내용을 다시 간략하게 요약하면 다음과 같습니다.

 

우선 함수의 극한을 배웠습니다.

극한값은 기본적으로 “주변부의 값”입니다.

극한값을 계산할 때 분모가 0으로 가는가를 살피는 것이 중요합니다.

이 때 분자가 0으로 같이 가면 분자나 분모를 0으로 만드는 요소를 뽑아 내어

먼저 처리한 후 극한값을 계산합니다.

x가 아주 커지는 극한값은 말하자면 “막장값”입니다.

이때에는 각 항들 중에서 가장 빨리 증가하는 녀석만 살아 남습니다.

그래서 (무한대)/(무한대) 형태의 극한값은 분자/분모의 최고차항만 비교하면 됩니다.

 

그리고 함수의 연속성을 배웠습니다.

연속성은 한 점에서의 성질(pointwise property)입니다.

그 점에서의 함수값과 그 주변부의 값(=극한값)이 같을 때

우리는 그 점에서 함수가 연속이라고 부릅니다.

함수가 연속이면 그 점에서 함수가 끊어져 있지 않고 연결되어 있습니다.

 

미분은 평균변화율과 순간변화율을 구분하는 것부터 시작했습니다.

중간과정에 대해서는 “아무것도 묻지도 따지지도 않고”

처음상태와 나중상태만 비교해서 변화량을 비교한 값이 평균변화율입니다.

함수에서의 평균변화율은 두 점을 잇는 직선의 기울기에 해당합니다.

반면 순간변화율(instantaneous rate of change)은 처음상태에서 나중상태로 변하는

매 순간마다의 변화정도를 나타냅니다.

함수에서의 순간변화율은 주어진 점에서의 접선의 기울기에 해당합니다.

접선의 기울기는 두 점이 하나로 겹쳐지는 극한에서의

두 점을 잇는 직선의 기울기라고 수학적으로 정의할 수 있습니다.

바로 이 값이 그 점에서의 미분계수(differential coefficient)입니다.

 

정의구역의 모든 원소에 대해 그 각각의 미분계수를 대응시킨 함수를

도함수(derivative)라고 합니다.

그러니까 도함수는 임의의 점에서의 미분계수라고 할 수 있습니다.

미분한다(differentiate)는 말은 우리가 원하는 점에서 미분계수를 구한다는 말이고

따라서 도함수를 구한다는 말과 같습니다.

 

그러나 도함수를 구할 때마다 도함수의 정의를 따라 그대로 계산하는 것은

무척 비생산적입니다.

그래서 사람들이 몇 가지 기본적인 요소들에 대한 미분결과를 정리했습니다.

그것이 미분법의 공식입니다.

특히 교재에는 안 나와 있지만 노트에 있는 합성함수 미분법을 잘 공부하시기 바랍니다.

다음 시간에도 다시 다루겠지만, 미분을 처음 배우시는 분들이 어려워하는 대목입니다.

합성함수 미분법에 능통하지 않고서는 미분을 한다고 할 수 없는 만큼 꼭 복습하세요.

  

미분을 활용하면 함수의 모양을 보다 자세하게 알 수 있습니다.

도함수의 부호가 함수의 증감과 밀접하게 관련이 있기 때문입니다.

특히 이계도함수는 접선의 기울기의 변화율을 나타내므로

함수가 위로 볼록한지 아래로 볼록한지에 대한 정보를 줍니다.

 

그리고 물리에서 가장 많이 나오는 속도는 위치에 대한 시간 미분입니다.

물리적인 응용은 일반물리 과정에서 보다 자세하게 다룰 예정입니다.

 

적분은 넓이를 구하는 문제에서부터 시작했습니다.

기본적인 아이디어는 무한히 잘게 쪼개서(lim) 모두 더한다( )는 것입니다.

특히 함수 y=f(x)와 x축과 경계선들로 이루어진 도형의 넓이는

밑변의 길이가 아주 작은 직사각형들의 넓이의 합으로 구할 수 있습니다.

이 때 이 도형의 넓이를 하나의 함수로 보았을 때 이 함수의 도함수는

도형을 이루는 원래 함수 f(x)가 된다는 놀라운 사실을 알 수 있습니다.

이로부터 우리는 미분해서 f(x)가 되는 그런 함수만 찾으면

도형의 넓이를 손쉽게 계산할 수 있습니다.

이것이 정적분(definite integral)입니다.

 

미분해서 f(x)가 되는 어떤 함수 F(x)를 찾는 과정은

부정적분(indefinite integral)이라고 합니다.

따라서 부정적분은 미분의 역산에 해당합니다.

 

적분을 알면 도형의 넓이나 부피를 쉽게 구할 수 있습니다.

그리고 속도나 가속도가 각각 위치와 속도의 미분이므로

이 관계를 이용하면 위치와 속도를 시간의 함수로 나타낼 수 있습니다.

 

물리학에서는 거의 대부분의 나눗셈은 미분으로 정의된 양이고

거의 대부분의 곱셈은 적분으로 정의된 양이라고 해도 과언이 아닙니다.

이번 2회 강의는 비록 인문계열 과정만 다루지만 미적분의 핵심 개념을 배웠기 때문에

총 12회 강의 중에서 가장 중요한 강의라고도 할 수 있습니다.

다음 두 가지 공식은 꼭 기억하시기 바랍니다.

 

 

 

 

 

다음 모임은 개인 사정상 3월7일(토)로 날짜가 바뀌었습니다.

이 점 깊이 사과의 말씀 드립니다.

원래 예정되었던 3월14일에는

LHC의 CMS에 참여하는 한국 그룹과 고등과학원의 공동 워크샵이 있답니다.

3월이면 학기 중이라서 교수님들이 주말에만 시간이 되시나 봅니다.

 

다음 시간에는 이공계 과정의 미분을 배웁니다.

교재도 바뀌니까 주의하세요.

 

 

우선 삼각함수의 덧셈공식부터 나올 텐데요.

초반부터 엄청난 양의 공식들을 구경하실 겁니다.

이공계 학생들이 대부분 수학을 포기하는 첫 번째 단계가 이 때입니다.

하지만 여러분들은 그 모든 공식을 다 알 필요가 없습니다.

그리고 약간만 머리를 쓰면 능률적으로 공부할 수 있습니다.

 

덧셈공식이 필요한 이유는 두 가지입니다.

하나는 그 자체로 쓰임새가 있고요.

또 하나는 적분 때문입니다.

적분은 미분과 달리 적분할 수 있는 모양을 만드는 게 가장 중요합니다.

삼각함수의 경우 여러 삼각함수가 곱해져 있으면 직접 적분이 안 되기 때문에

이것을 풀어서 써야 적분할 수 있는데요.

이 때 덧셈공식의 변형공식들이 사용됩니다.

 

그리고는 삼각함수와 지수/로그함수의 특수한 극한값을 배웁니다.

이 극한값들은 삼각함수와 지수/로그함수의 도함수를 구할 때 결정적인 역할을 합니다.

대개 학교나 학원에서는 이 극한값의 기하학적인 의미를 안 가르치고

그냥 외우라고 하는데요.

그 기하학적인 의미를 알고 나면 훨씬 이해하기 쉬울 겁니다.

 

그리고 약간 고난도의 미분법을 배웁니다.

이때를 위해서라도 합성함수 미분법은 미리 공부해 두시기 바랍니다.

이공계 과정 적분은 4월 달에 배웁니다.

 

*****

 

어느덧 추운 겨울이 다 가고 춘삼월이 다가오네요.

제가 올해 한국 나이로 서른 아홉인데요.

돌이켜 보니까 제가 30대 때 한 일들 중에서

수학 아카데미가 가장 보람 있는 일인 것 같습니다.

 

박용태 회장님, 전승철 회원님, 김주현 회원님, 전광준 회원님, 백북스 총무님들,

그리고 먼 길 마다않고 와 주시는 여러분들께서 많이 애써 주신 덕분에

저는 그저 편하게 강의에만 전념할 수 있게 되었습니다.

너무 감사드리고요.

이제 시작이니만큼 조금 어렵더라도 서로 격려해 가면서

2009년을 우리 인생의 가장 멋진 한해로 기억될 수 있게 같이 노력합시다.

고맙습니다.