곡선의 접선을 그리는 문제와 함수의 최대, 최소값을 찾는 문제가 미분법의 발견을 유도했고, 이에 관해 17세기의 많은 수학자의 기여가 있다. 포물선의 접선을 두 운동의 합성으로 설명한 로베르발(1602-1675), 비슷한 견해로 그와 논쟁을 야기했던 토리첼리 등이 있다. 또 특정한 곡선에 대한 접선을 작도하는 다른 방법을 데카르트가 발견했다.
그러나 진정한 미분법을 발견할 수 있는 최초의 내용은 페르마가 1629년에 설명한 발상에 나타난다. 페르마는 케플러가 관찰한 ‘함수의 증분은 통상적인 최대, 최소값의 근방에서 거의 무시할 수 있을 정도로 작다’는 사실을 최대, 최소값을 결정하는 과정으로 해석했다. 그렇지만 페르마는 f(x)의 도함수가 0이 되는 것은 통상적인 최대, 최소값이 되기 위한 충분조건이 아닌 필요조건이라는 사실을 깨닫지 못했다. 또한 페르마의 방법은 최대값과 최소값 사이의 차이를 구별하지 못했다. 그는 데카르트(직교좌표) 방정식이 주어진 곡선 위의 한 점을 지나는 접선을 찾는 일반적인 과정을 고안했다. 간단히 설명하면, 접선을 찾고자 하는 x보다 e만큼 떨어진 점에서의 점선을 구해서, 그 함수 방정식에 대입하여 정리한 이후, e=0으로 두어 접선영(subtangent)을 찾는 방법이다. 페르마는 자신의 방법을 사용해서 타원, 굴렁쇠선(cycloid), 질주선(cissoid), 나사선(conchoid), 할원 곡선(quadratrix), 데카르트의 엽상곡선(folium) 등의 접선을 구했다.
미적분을 예견하는 데 중요한 역할을 했던 또 다른 사람은 배로(Isaac Barrow)이다. 그의 방법은 '미분 삼각형(differential triangle)’을 사용했다.
위 그림에서 삼각형 PTM과 PQR은 거의 닮은꼴이다.
따라서 RP/QR=MP/TM 이다.
QR=e, RP=a라 하고 P의 좌표가 (x, y)라 하면, Q의 좌표는 (x-e, y-a)이다. 이 값들을 주어진 곡선의 방정식에 대입하고 e와 a의 이차 이상의 거듭제곱을 무시하면, 비a/e를 얻는다(현대적인 표현으로 a와 e는 각각 Δy와 Δx를 나타낸다. 따라서 비a/e는 e가 0으로 근접할 때 dy/dx가 된다). 그러면 다음이 성립하므로 접선이 결정된다.
OT=OM-TM=OM-MP*QR/RP=x-y*e/a
페르마와 배로 및 당시 일부 학자들의 연구에 힘입어, 미분 과정이 발전했으며 많은 최대, 최소 문제와 많은 곡선에 대한 접선을 작도하는 데 적용됐다. 이후 미분법의 발전은 두 가지 면에서 여지를 남겼다. 첫 번째는 적합하고 실행 가능한 미분법의 발견인데, 이것은 뉴턴과 라이프니츠에 의해 독자적으로 이루어졌다. 두 번째는 받아들일 만한 엄밀한 기초에 근거해서 기본적인 개념들에 관한 것으로 이것은 코시(1789-1857)등 19세기 후계자들에 의해 이루어졌다.
