노트를보니... 물리학과 대학생들에게 가르치는 수준이네요. ^^;
이를 비전공자분들에게 어떻게 전달하실지 기대됩니다.

그리고 이충기 박사님 아이디를 이제 보니, 솔리톤이네요.
전파되는 중에 파장의 진폭이 작아지지 않는다는 ... 혹시 그 솔리톤인가요?

지난 번 강의때 보니 많은 분들이 양자론의 수학적인 정식화과정을 어려워 하셨습니다.
그래서 수학적 내용은 많이 덜어내고,
(가능하다면) 직관적인 이해와 쉬운 예를 위주로 할 생각입니다.
(사실 이걸 생각해내는 것이 더 고역입니다.^^)

제가 올린 노트들은 양자론의 수학적 형식론(formalism)을 공부할 때 참고하시기 바랍니다. 시중에 양자물리학에 관한 좋은 교과서들이 많아서 거기에 댈 수는 없겠지만, 저 노트에 대해선 저자(?)를 직접 보고 물어 보실 수 있습니다. 물론, 실제 강의 때 노트와는 전혀 다른 무엇을 하겠다는 것은 아닙니다. 강의가 끝날 때 노트의 수식들이 뭘 하자는 것인지 대강 아시게 된다면, 그것은 만족스런 강의가 될 것 같습니다.

아 그리고 12월 마지막 강의는 뭘할까 생각해 봤는데,

1. 현대적인 원자모형

2. EPR 역리(paradox) (가능하다면 벨부등식까지)

3. 대칭성

4. 그리고 그 동안의 습득한 지식으로 살펴보는 여러 가지 실제 실험들 (STM, 나노물질의 전기 저항등...)

등입니다.

뭐 특별히 다루고 싶은 것 있으면 제안 부탁드립니다.

이번 강의에서 간단한 미분 방정식을 푸는 방법을 다뤄주셨으면 합니다.
(미분 방정식의 해가 지수함수의 선형결합으로 이뤄지는 이유)

그리고 푸리에변환 다루는 김에
오일러공식을 간단한 소개하고
푸리에급수를 공부해보면 좋을 것 같습니다.^^

12월 강의에서는
실생활에서 볼 수 있고 양자역학으로 설명가능한 것을 해봤으면 합니다.
(이를테면, LED에서 빛이 나올 때 일어나는 전자의 에너지 준위의 변화라든지..
나트륨등과 수은등의 색이 왜 다른지... )
그 밖에 고전역학으로는 설명할 수 없는 원자의 안정성등.

너무 많은가요. 그럼 적당히 골라주세요 ^^;

y'' + k*k * y = 0 와 같은 식을 미분방정식이라고 부릅니다.

이 미분방정식을 만족하는 미지의 함수 y=f(x)를 구하는 것을 미분방정식을 푼다고 말합니다.

시험삼아 y = e^{a*x} 를 위의 미분방정식에 대입하여 봅시다.
(여기서 ^은 지수를 표시합니다.)

이때 일계미분은 y' = a* e^{ax} 이고, 이계미분은 y'' = a*a *e^{a*x} 입니다.

따라서 원래 미분방정식은

a*a *e^{a*x} + k*k *e^{a*x} = 0 이 되고, 양변을 e^{a*x}로 나누면

a*a + k* k = 0 을 얻습니다. a에 대해 풀면 k가 실수일 때, a = -i*k 혹은 a = +i*k(여기서 i는 허수단위) 의 두 가지

값이 모두 가능합니다. 따라서 y1=e^{+i*k*x} 도 해이고 y2=e^{-i*k*x}도 해입니다. 그리고 임의의 복

소수 c1, c2에 대해 y3 = c1*y1 + c2*y2 도 해입니다. 왜냐하면,

y3'' = c1*y1" + c2*y2" = c1*(-k*k*y1) + c2*(-k*k*y2) = -k*k*(c1*y1 + c2*y2) = -k*k*y3 여서

y3" + k*k*y3 = 0 을 만족하므로 y3 = c1*y1 + c2*y2 도 주어진 미분방정식의 해입니다.

사실 y1 은 c1=1, c2=0을 선택한 특수한 경우이고, 가장 일반적으로 위 미분방정식의 해를

표시한 것은 y3 = c1*y1 + c2*y2 입니다. 이것을 일반해(general solution)라고 부릅니다.

상수 c1 과 c2는 문제에 따라 미분방정식에 주어지는 경계조건이나 초기조건 등에 의해서 정해지게 됩니다.

박사님 y3 = c1*y1 + c2*y2 가 '모든' 해를 표현한다는 건 어떻게 증명하나요? 풀이 말고 힌트를 주시면 감사하겠습니다

그리고, 질문 한가지 더 드리겠습니다^^

물속에서는 빛의 속도가 감소하는데, 전자의 속도는 어떻게 변하는지 알고 싶습니다. 이를테면 빛의 속도에 가깝게 가속된 전자가 물속으로 들어가면 속도가 어떻게 변할까요? 제가 얼핏 듣기로는 '동시에 물 속에 들어간 빛'보다 (일시적으로) 빠를 수 있다고 합니다. 정확히 어떻게 변화되는지, 변화되는 원리가 무엇인지 알고 싶습니다.
빛의 경우는 광자가 물속의 양성자, 전자와의 상호작용(빛의 흡수 및 방출)으로 인해 속도가 감소하는 것으로 알고 있습니다.

제가 답변해도 될까요? ^^

a*y'' + b*y' + cy + d = f(x)
(여기서 a,b,c,d는 상수)

라는 미분 방정식이 있을 때, (위의 방정식은 2계, 두 번 미분 되어 있으므로)

f(x)가 0인 미분 방정식을 동차(혹은 제차, homogeneous)라 하고
0이 아닌 미분 방정식을 비동차(혹은 비제차)라 합니다.

위에서 박사님이 풀어주신 방정식은 제차 방정식이죠.

힌트를 드리자면,

1. 미분방정식의 의 해가
d{ y } = 0
를 만족해야 합니다.
( d{ y }은 y에 대한 미분 방정식이라고 합시다. )

2. d{ f(x) + g(x) } = d{ f(x) } + d{ g(x) }
두 함수로 이루어진 함수를 미분 한 것은
각각을 미분 한 것을 더한 것과 같습니다.

풀었습니다. 감사합니다.

y=c1*y1 + c2*y2 가 위 미분방정식의 일반해("모든 해"와 "일반해"는 다른 의미라고 생각합니다.)라는 것을 엄밀하게 보이려면, 해끼리의 선형 독립성 등의 개념정의 따위가 필요하고, 미분방정식의 해의 유일성 등에 대한 증명도 필요합니다. 직관적으로 보면 별것 아니지만, 엄밀하게 따지고 들어가면 또 그만큼 까다롭습니다. 엄밀한 전개는 미분방정식 입문서 등에서 찾아보시기 바랍니다.

전자기파가 물 속에서 진행하는 속력이 진공 중에 비해 느린 것은 유전율, 투자율 등의 물의 전자기적 특성이 진공의 그것들과는 다르기 때문입니다. 그런데 전자의 이른바 물질파동은 이런 것들과는 아무런 관련이 없으므로, 전자기파와 대비하여 설명을 할 수는 없겠습니다.

상상해 보니 전자가 물 속에 들어가면 물 속에 존재하는 수소이온 따위에 잡혀서 더 이상 전진하지 못할 가능성이 클 것 같습니다.

더 복잡한 미분방정식을 풀려면 다른 개념이 필요하겠지만,
ay'' + by' + cy + d = 0 는 거의 고등학교 수준에서 풀 수 있군요.
풀이 과정을 간단히 하기 위해서 d=0인 경우만 풀겠습니다.

먼저, 함수 Y와 복소수 n에대해, 미분방정식 Y'= nY 의 해를 구합니다.
Y≠0일 때, Y'= nY ⇔ Y'/Y = n
양변을 적분해서 풀면, Y = ke^nx (k는 0이 아닌 복소수)
Y=0도 위 방정식의 해이므로,
∴Y'= nY ⇔ Y = ke^nx (k는 임의의 복소수) ......(A)

위 결과는 아래 증명에서 두번 이용됩니다.

문제의 식 ay'' + by' + cy = 0 의 양변을 a(≠0)로 나누면,
y'' + py' + qy = 0 (p=b/a , q=c/a)
이 때, -(m+n)=p , mn=q을 만족하는 m,n에대해
⇔ (y'' - my') = n(y' - my)
⇔ (y' - my)' = n(y' - my)
(A)에 의해서,
⇔ y' - my = ke^nx (k는 임의의 복소수)

1)m≠n 인 경우
s = k/(n-m) 라고 하면,
y' - my = ke^nx
⇔ y' - my = s(n-m)e^nx
⇔ y' - nse^nx = m(y - se^nx)
⇔ (y - se^nx)' = m(y - se^nx)
(A)에 의해서,
⇔ y - se^nx = te^mx (t는 임의의 복소수)

∴ y = se^nx + te^mx (s,t는 임의의 복소수)

2)m=n인 경우
y' - ny = ke^nx
양변에 e^(-nx)를 곱하면,
⇔ e^(-nx)y' - ne^(-nx)y = k
⇔ (e^(-nx)y)' = k
⇔ e^(-nx)y = kx+c (c는 임의의 복소수)
∴ y = (kx+c)e^nx (k,c 는 임의의 복소수)

상수계수 이계 미분방정식의 풀이를 깔끔하게 적어 놓으셨습니다. 그런데 글쎄요, 저건 그냥 해를 찾는 풀이이지 지수함수꼴의 해만 찾아주면 된다는 증명은 아닙니다. (질문에 "모든 해"라는 문구를 이렇게 이해했습니다. 맞나요?)

예를 들어, 간단한 일계 미분방정식 y'/y = c (c는 상수)를 풀면 이것의 해는 분명히 y = k e^{c*x} 입니다. 그런데 "초기조건이 주어질 때(즉 k가 구체적으로 정해질 때) 이 해는 유일한 해인가?, 즉 y=k e^{c*x}는 이 미분방정식의 일반해인가?"를 보이는 것은 또 다른 문제입니다. 결과적으로는 양변을 부정적분하고 초기조건을 이용하여 k를 구체적으로 결정하면, 저것이 유일한 해가 되는 것이 사실입니다. 그러나 저렇게 해를 구하는 수학적 조작 과정 자체가 그 해가 유일하다를 논증하진 않습니다.

사실 양변을 부정적분하여 푼다는 것은 그냥 무엇을 미분하면 그것이 나오는가를 찾는 것이기 때문에, 직관적으로 y'/y 가 상수가 되는 것을 관찰하여 y를 지수함수 꼴로 정하는 것과 큰 차이는 없습니다.
하여튼 y'/y=c 라는 미분방정식의 해를 (어떤 식으로 구했던 간에) y = ke^{c*x}처럼 바로 쓰고, 다른 해를 고려할 필요가 없는 것은 <존재성과 유일성 정리>라는 것이 찜찜함을 말끔하게 없애주기 때문입니다.

엄밀한 논의는 미분방정식에 대한 입문서들을 찾아보시기 바랍니다.

<모든 해>는 그런 의도로 쓴 게 맞습니다.
미분방정식에대한 자료를 좀 찾아봤더니, 제가 위에 적은 게 시시해 보이네요 ㅎㅎ

말씀하신 해의 존재성과 유일성에대한 문제에대해서 적어보겠습니다.

예를들어 g(x)가 주어졌을 때 F'(x)=g(x) 도 일종의 미분방정식인데, 이 경우 식을 만족하는 F(x)를 한 개 구했다면, 다른 가능한 해들은 F(x)+C (C는 상수)로 표현됨을 보일 수 있습니다. 때문에 이러한 방법으로 F'(x)=g(x)의 해를 모두 찾을 수 있습니다.

증명)
H(x)를 <미분방정식 F'(x)=g(x)의 F(x)가 아닌 다른 해>라고 하면, (H(x) - F(x))' = H'(x) - F'(x) = g(x) - g(x) = 0
이 때, 미분해서 0이 되는 함수는 상수함수뿐이므로(이것도 평균값 정리를 이용해서 증명할 수 있습니다),
∴ H(x) = F(x) + C (C는 상수)

말씀하신 '미분방정식의 해에대한 유일성과 존재성에대한 정리'는 주어진 미분방정식의 해를 위와 같은 방법(준 식을 필요충분조건인 다른 식으로 변형하는 방법)으로 구할 수 없는 경우에 필요합니다. 뉴턴이 (인수분해 등을 이용해서 풀 수 없는) 고차방정식의 해를 구할 때 사용한 방법과 유사합니다. 초기조건을 먼저 생각하고, 그 초기조건을 토대로 점화적인 방법(Picard Iterative Process)으로 구한 해가 '존재하고 유일하다'는 것입니다. 물론 초기조건을 만족하는 해를 다른 방법으로 구했을 때, 그 해가 유일하다는 것도 말해줍니다.

y'/y = 1 과 같이 쉽게 일반해를 구할 수 있는 경우는 초기조건을 먼저 생각할 필요는 없습니다. 일단 일반해를 구한 뒤에 초기조건을 적용해서 특수해를 구하면 되기 때문입니다.

제가 미분방정식 전반에대한 이해가 거의 없기 때문에 뭔가를 오해했을 수도 있습니다. 지적해주시면 감사하겠습니다.

적어 놓은 식을 보니 평균값 정리를 사용한 증명이 가능하다면, y' = g(x) 꼴의 미분방정식의 해는 같은 초기조건이 주어지면 유일하다는 증명이 될 수 있겠습니다(H(x0)=F(x0)이면 C=0). 유사한 방식으로 특별한 형태의 미분방정식들에 대해서는 유일성을 증명할 수도 있겠습니다. 이렇듯, 어떤 미분방정식의 해를 구했다고 해도 이것이 유일한가에 대한 증명은 또다른 논증이 필요한 다른 문제입니다.

그런데 이런 형태의 일계 미분방정식 말고, 더 일반적인 꼴의 미분방정식, y'=g(x,y)에 대해선 어떻게 해야 할까요? '미분방정식의 해에 대한 유일성과 존재성에 대한 정리'는 이러한 일반적인 일계 미분방정식에 대한 성질을 기술한 것입니다. 이 정리를 증명하기 위해 picard의 풀이법이 쓰입니다. picard의 풀이법은 모든 일계 미분방정식에 대해 쓸 수 있습니다. 미분방정식 y'/y=c 을 이것을 이용하여 풀어보시기 바랍니다.

일반해는 미분방정식의 아직 계수가 정해지지 않은 해를 말하는 것입니다. 즉 "어떤 임의의 초기조건이나 경계조건이 주어지던 간에 해는 일반적으로 이러이러한 형태다"라는 뜻이지, 따로 큰 의미를 둘 필요는 없습니다. 이를테면 피카드 방법에서 y = y0 + (적분식) 꼴로 쓰는데, y0의 의미는 y'/y=c의 "일반해" y=k e^{cx}에서 k의 의미와 같습니다.

웹을 찾아보니 http://w3.cm.nctu.edu.tw/~francis/ODE/Chap01Proof.pdf 에 증명과정이 있네요. 그런데 많이 어렵군요.

좋은 자료 감사합니다. 자료가 상당히 깔끔하고 설명도 잘 된 것 같네요. 구하려는 값을 직접구하지 않고, 조금씩 근사값을 구해서 결국 미지의 값을 구하는 아이디어가 인상적입니다.
네비어-스톡 방정식의 해가 항상 존재하는지를 보이는 게 중요한 미해결 문제인 걸 보면, 위 증명의 중요성도 알 수 있겠네요.
뿐만아니라 수학의 다른 분야에서도 존재성과 유일성을 살피는 게 중요한 작업같고요.

적어주신 링크를 따라서 가보니 http://w3.cm.nctu.edu.tw/~francis/ode.html 이 링크에 박사님께서 적어주신 자료를 포함해서 미분방정식 강의pdf가 있네요.