각의 3등분 문제를 해결한다고 해 놓고,
가장 뜨거운 염천에,
태풍이 지나가는 위태로운 순간에,
날아가는 방충망을 주워 올려가면서
거의 한 달을 매달린 것 같은데,
나는 왜 3등분에 매달렸을까.
어쨌든 일을 저질렀으니, 수습해야 한다는 생각이 있었을 것이고, 토론하는 과정에서 부수입으로 배우는 것도 쏠쏠하고, 반론을 받는 과정에서 생각이 막히지 않고, 오히려 반론을 받을수록 더 새로운 아이디어가 내 방법을 보강해 주어 재미도 있어서 계속할 수 있었던 것 같다.반면에 내 생각에 몰입되어 반론과 지도를 해 주는 분들의 입장을 살피지 못한 것 때문에 부적절한 상황에 빠지는 경우가 있어서 아쉽게 된 경우도 있었다.
수학을 배우는 입장에서, 난제에 도전하는 것의 의미는 각의 3등분을 해결한다는 테크닉을 내세우는 것에 한정되지 않고, 이 과정에서 부수입으로 우리가 수학적으로 당연한 것으로 생각했던 것에 딴죽을 걸 수 있는 증거를 볼 수도 있다는 점일 것이다.
각의 3등분이라는 것이 2000년 이상의 난제로 남아 있는데, 수학의 기초부분에 대한 의심이 없이 당연히 받아들여지는 수학의 기초를 그대로 인정하고, 이 난제를 해결할 수 있다고 생각하는 것은 오히려 오만일 수도 있다.
이른바 ‘수학의 헌법‘을 그대로 두고, 이 각의 삼등분이 해결될 수 있다면, 왜 그 동안 무수히 많은 천재들이 못 해결했겠느냐고 생각하는 것이 더 설득력이 있을 것이다. 그 동안 이것을 해결한다고 내놓은 많은 아이디어가 결국은 ‘오묘한‘ 아이디어로 끝난 것은 이런 이유 때문일 것이다.
나는 처음부터 수학의 기초부분을 존중하지 않겠다는 복안을 깔고, 이 문제에 접근한 것이 사실이다.
무엇보다 물리학과 수학이 서로 모순되는 점에 착안하여 수학의 기초를 공략할 수 있을 것이다. 우선 우리가 잘 알고 있는 것은 물리학에는 마이너스가 없다는 점이다. 물리학이 마이너스를 인정한다면, 마이너스 절대 온도도 있어야 한다.
두 번째는 아인슈타인이 특수상대성이론을 전개할 때, 강체라는 것이 인정되지 않는 점으로 부터 시공이라는 것이 우리가 직관적으로 생각하는 것과 다름을 설명하는 것을 보았다.
이것을 수론에 적용하면, 직선상에 빈틈없이 연속되어 있다는 실수의 개념이 의심받게 된다.
우리가 좌표계를 구성할 때 사용하는 좌표축으로서, 수직선인 x축과 y축으로 사용하는 수직선이 물리적으로 인정하기 보다는 수학만의 임의적인 개념이라는 것을 알 수 있고, 이 수직선이라는 것을 절대적인 것으로 보는 수론이 의심받을 수 있는 것이다.
아인슈타인의 특수상대성이론이 나온 지 100년이 지났지만, 우리는 물리적으로 특수상대성이론에 모순되는 수론을 의심하는 사람을 본적이 없다. 어느 누구도 수론을 바꾸어야 한다는 생각을 하는 사람을 본 적도 없다. 각을 3등분하는 문제, 이것을 돌파하려면 이 수론을 바꾸는 것을 설득하지 않고는 해결되지 않는다. 당랑거철과 같은 무모한 짓이 필요한 것이다.
이글을 읽는 동안만이라도, 한번쯤 상식으로 받아들이던 수론을 잠깐이라도 의심해 보았으면 좋겠다. 당시에 비상식적이어서 강력한 저항에 부딪혔던 특수상대성이론이 시공간의; 개념을 변화시켰듯이 각의 3등분은 수론에 대한 새로운 계기가 될 것으로 생각한다.
각이 2등분된다는 것은 기존의 수학에서 인정된다.
그런데 물리적으로 보면, 2등분은 의심스럽게 된다. 물리학으로 보면, 2등분된다는 그 포인트는 불확정성 원리에 걸리는 것은 아닌지 의심해 보아야 한다. 물리적으로 보면, 어떤 포인트를 극한으로 분해해 들어가면 그 포인트(입자의 위치의 측정)는 불확정성 원리에 의해서 확정될 수 없다고 한다.
기존 수학으로 보면, 3등분은 불가능하다고 한다. 수직선은 실수로 빽빽하게 채워져서 빈틈이 없는데, 그 빈틈없는 실수 중에서 3등분이 되는 마지막 포인트는 지정하기 곤란하다는 것이다. 그런데 물리적으로 보면, 그 수직선은 강체에 해당된다. 물리학은 강체를 부정한다.
내가 앞에 올린 글 “제논의 역설은 ...”으로 토론하던 중에 엑셀 프로그램이나 매스매티카로 계산 한던 중에 결국 우리는 무한 자리로 연산되는 것은 불가능하고, 연산하는 자리수는 한정이 될 수밖에 없다.
이것이 물리학의 개념으로 보아도 옳다는 것을 앞에서 보았다.
앞의 글 '제논의 ...'에서 보았듯이, 연산하는 자리수를 제한하면, 3등분하는 점은 반드시 성립한다.
위에서 본 것처럼 현대 물리학은 수학과 서로 엇박자를 내고 있는 것이 많이 있다고 알고 있다.
연속성에 의한 수학의 실수와 같은 개념이 성립하지 않음을 안다. 또 위에서 지적한 것처럼 마이너스가 물리에서는 곤란한 개념이라는 것을 안다.
우리는 이런 수론의 모순을 각을 3등분하는 법과 같은 수학의 난제들을 통해서 드러낼 수 있는 것이다.
각의 3등분은 루트2의 발견과 허수 i의 발견처럼, 수학의 새로운 진보를 이끌어 낼 수 있을까?
학문은 위기로 밀어 넣으므로서 진보하는 것이 아닌가?
