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2012.08.29 15:39

각의 3등분을 직관적으로 이해하기

이기두
조회 수 2913 추천 수 0 댓글 28
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이 그림이면,
각을 3등분하는 법이 유한번 작도로 가능함을 직관적으로 이해가 될 것 같습니다.


제글 '각을 3등분하는 법'에서
 처음 시행한 4등분점과 2등분점을 잇는 중간값구하기 선은 3등분점에서 약간 부족하게 됩니다.


제글 '제논의...'에서 
4등분을 연속으로 시행하면,
S = ¼ + ¼2 +¼3 +¼4 + ¼5 +¼6 +¼7 ...........+ ¼n 에 의해서,
1/3의 선으로 4등분선이 수렴해 가는 것을 매스매티카의 계산으로 보았습니다.


그런데 4등분이 수렴해가는 3등분점에서 2등분점에 이은 중간값구하기선은
이 그림에서 3등분점을 지나친 것을 볼 수 있습니다.



따라서 중간값구하기선은 4등분을 유한번하는 것으로 1/3에 도달하는 것을 알 수 있습니다.



이로서 수학의 난제 중의 하나인 각의3등분을  저의 작도로 유한번 시행에 의하여,  작도할 수 있음을 보인 것이 됩니다.

그렇다면, 두각이 30도에서 같은 거리로 떨어지려면, n값이 얼마인지 계산이 가능할 것입니다.
이때 대각선은 정확히 3호선에 3등분점을 나타내게 됩니다. 

이것을 수리적으로 보면,
A각의 4등분은 1/3을 향해 수렴해 갑니다.
A을 1/4의 n승으로 곱했을 때 (n=k)
Mathematica 입력식 : A*(sum[1/4^k] for k = 1 to k)

반대편의 2등분은 45도를 향해 수렴해 갑니다.

Mathematica 입력식 : A*(sum[1/2^k] for k = 1 to k)

이때 두 값이 일치하는 점을 구하면 되나요?

Mathematica 입력식 :( k는 뭐냐? k는 정수 : 0=A*(sum[1/4^k]  - A*(sum[1/2^k] for k = 1 to k)

이런 식이 성립하나요?

이런 것 비슷할 텐데,  우성범님이 가르쳐 주세요.  ㅠ  ㅠ









이상한 계산,

아래의 계산결과를 보면,

k가 1일 때,  가장 정밀한 1/3을 얻는다는 것을 말하는 것 같습니다.
완전한 1/3은 아니지만,
1/3이라고 인정할 만 하다고 말하네요.



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Comments '28'
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    우현종 2012.08.29 15:39
    각도 3등분('angle trisection problem')에서,
    '작도 도구는 유한 번 사용된다'는 조건을 염두에 둡니다.
    Ref. : (Wantzel, M. L. "Recherches sur les moyens de reconnaitre si un Probleme de Geometrie peut se resoudre avec la regle et le compas", 1836)


    유한번 작도로 90도의 정확한 3등분점을 찾기위해서는
    S = ¼ + ¼2 +¼3 +¼4 + ¼5 +¼6 +¼7 ...........+ ¼n 에서
    S값이 더이상 발산하지 않고 수렴하는 n값이 존재해야겠지요?

    그렇다면,
    S값이 계산되는 각 항, 즉 급수 중에서 1/4의 n승이 0인 값이 존재한다는 말인데,
    이는 논리적으로 False 즉, 거짓입니다.

    ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    먼저
    ¼의 승수중 결과가 0인 n을 먼저 답해보십시오.
    (조건을 잊지마세요. 작도의 사용은 유한 번입니다.)
    ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    절대 ! 수학적 공리와 기호와 연산자만으로 답해주십시오.
    '~인거 같다', '~일 수도 있다'와 같은 대답에 대해서는 답하지 않겠습니다.

    이기두님의 답에 대해, 저는 True와 False로 답하고 싶습니다.

    저에게도 배려를 주십시오. 본문과 댓글 고치지 마십시오.
    부탁드립니다.

    --------------
    참고 (아래 내용은 부차적인 내용입니다. 만나서 충분히 설명가능하며, 결과를 책임지고 보여드릴 수도 있습니다.)
    메스메티카의 결과값은 컴퓨팅의 한계가 당연히 있기 때문에 표현상의 문제가 있을 수 있으나 결코 수렴하지 않았습니다. 그리고 이기두님께서 그 증거로 제시한 HWP파일엔 내용이 없었으며, 그 파일 제가 가지고 있습니다. 본문에서처럼 이기두 선생님은 메스메티카 결과값이 수렴했다고 말씀하실 수 없습니다.
    댓글
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    이기두 2012.08.29 15:39
    일단 제가 갑자기 생각나서 아침에 식을 올리고 외출하면서 밖에서 생각해보니, 잊은 것이 있었습니다.

    3등분에 양쪽에서 수렴하는 값에서 1/3에서 같은 거리가 떨어진 각을 구하기 위해서는
    1/2에서 빼기 A*(sum[1/2^k] for k = 1 to k)를 해서 1/3에 수렴하는 A*(sum[1/4^k] for k = 1 to k)와 차가 0 되는 k를 구하여야 하는데, 1/2에서 빼는 것을 잊었습니다.
    위에 제가 이식 비슷한다고 한 식을

    Mathematica 입력식 :( k는 뭐냐? k는 정수 : 0=A*(sum[1/4^k] - { 1/-A*(sum[1/2^k] }for k = 1 to k)

    매스매틱스에서는 이런 식이 아니고 형식이 있을 것인데, 제가 몰라서 묻스니다.
    위 식같은 내용으로 고쳐야 할 것 같습니다.


    1/4^n이 1/3에 수렴하기 위해서는 n을 무한으로 보내야 합니다.
    마찬가지로 1/2^n가 n가 1/2에 수렴하기 위해서는 무한으로 보내야 합니다.
    그런데 제 방법은 유한에서 제가 작명한 '중간값'을 얻기 위해서는
    두 호의 길이가 1/3에 정확히 같은 거리로 떨어져서 그 대각선이 1/3에 접하는 '중간값을 구하고져 하는 것입니다.
    이 값을 구하기 위해서는 위 식과 같은 계산이 필요하다는 것입니다.

    다시 말해서 수렴하는 n 값은 특정값이 아니고, 무한대하는 추상적인 값이고, 이 값은 소수점이하 연산의 자릿수에 따라서 달라진다고 볼 수 있습니다. 이것이 "제논의 역리는 ..."에서 본 것입니다.
    소수점이하 15자리까지 계산하는 엑셀에서는 26자리에서 1/3에 수렴값을 얻었고, 어느자리까지 계산하는지 알 수 없는 매스매틱스는 7684자리에서 수렴값을 얻었습니다.
    즉 어떤 자리인지 특정은 않되지만 수렴하는 것은 분명합니다.
    어느 자리에서 두 값이 수렴값을 얻든 이것은 제 방법에는 영향이 없고, 위 식의 해로 어느 횟수에 1/3에서 같은 거리에서 만나서 대각선으로 3번 호에서 1/3의 점(중간값)을 얻는가만 알게 되면 되는 것입니다.

    참고로 말씀하신 것은 제가 "제논은..."의 마지막 댓글로 밝힌 7684자리에서 수렴값을 얻었다고 한 것을 False값으로 보시는 것입니까?
    수정 삭제 댓글
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    우현종 2012.08.29 15:39
    소위 '중간값'을 얻기 위해서 위 식이 성립해야한다는 주장을 하셨는데,
    Mathematica에서 사용하시려면 다음과 같이 표현식을 수정하십시오.

    0=90*(sum[1/4^k] - (1/2-90*(sum[1/2^k])) for k = 1 to k

    (식이 하나이고 변수가 두 개일 경우 값을 구할 수 없기 때문에 A에 90도를 입력해봤습니다.)

    이 값은 ¼의 k승으로 무한작도를 이용해야만 가능한 결과가 도출되며, 극한값은 0입니다.
    (계산결과는 위 식을 mathematica에 입력해보셔도 됩니다.)

    결국 유한작도라는 angle trisection problem의 기본조건을 위배하게 됩니다.

    인정하시는건가요?



    제가 질문한 내용에 대한 답으로

    "n이 특정값이 아닌 무한대하는 추상적인 값"이라는 대답은

    적어도 특정 값은 아니다는 말로 해석해도 되겠지요?


    고로 유한작도로 특정 값에 수렴한다는
    이기두 선생님의 주장은 수리적으로도 성립하지 않고
    논리로 귀결되지 않는 추상일뿐입니다.

    더이상 개선된 내용없이 추정을 통한 검정을 요구 하지 않았으면 좋겠습니다.
    추정(estimation)은 통계적 방법론입니다.
    수학적 이해를 요구하시면서 더이상 추상이나 추정을 논한다는 것은
    이를 읽는 분들에게 고통스러운 경험일 수 있습니다.

    이만 물러서겠습니다.

    -----------------------------

    댓글을 수정하셔서 덧붙입니다.

    7684자리건 7684*7684 자리건 결국 1/4의 k승의 결과입니다.
    그 값이 수렴하도록 유한 작도에서 특정 1/4의 k승 값이 0이된다는 것은
    논리적으로 False, 즉 거짓입니다.

    미리 당부드렸습니다.
    다른 사람의 댓글이 아래에 달렸을 때는 더이상 댓글 수정하시지 않으셨으면 좋겠습니다.

    저는 너무 부끄럽습니다.
    선생님께서는 부끄럽지 않으신지요.

    스스로 한계가 있고 모자람이 있는 인간인지라 배움은 너무나 당연하지만,
    누군가는 한 곳에 매몰되어있고,
    누군가는 그 함정에 대해 논하고 수근대는 이 상황 정말 부끄럽고 화나네요.
    저 자신뿐만 아니라 지켜보는 분들까지도 부끄럽게 느껴집니다.

    모임이 생기있고 보기 좋을 때, 그 때만 드러내놓고 참여한다는 것..
    그런 활동 쉽습니다.
    오프라인에서 자원봉사하지 못할거라면,
    게시판이라도 스스로 나서서 봉사하고 수고로움을 함께하는 자세가 그립습니다.
    저는 그런 자세에서 진정성을 찾고자 합니다.

    백북스는 함께 수고로움을 행할 충분한 가치가 있는 곳입니다.
    이기두 선생님,
    서영석 선생님,
    김제원 선생님,
    김형렬 형님
    그리고 함께 읽고 고민해주신 회원님들 고생많으셨습니다.

    이 문제로 더 이상 저를 찾지 마십시오. 주위에 폐끼치고 싶지 않습니다.
    댓글
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    이기두 2012.08.29 15:39
    두가지 점만 말씀드리겠습니다.

    "n이 특정값이 아닌 무한대하는 추상적인 값"이라는 것이 일반적인 수론의 개념에 따르면, 그렇다는 것이고, 사실적으로는 우리가 특정한 어떤 한계를 지어서 사용할 수 밖에 없다는 것을 엑셀과 매스매틱스를 통해 알았고, 엑셀은 이 경우에 90도의 3등분의 수렴값이 26자리에 있었고, 매스매틱스에서는 n이 7684라는 것을 특정해서 말씀 드려는데, 오해가 있는 것 같습니다.

    위에 수식이 제가 원하는 수식인지는 잘 모르겠습니다.

    적용도 해보고 좀더 고려해 보아야 할 것 같습니다.
    자꾸 토론에서 벗어나고 싶어 하시니 어쩔 수 없네요.
    누군가 가르쳐 주실 분이 있으시면, 좀 더 가르쳐 주세요.
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    우현종 2012.08.29 15:39
    소위 '중간값'을 얻기 위해서 위 식이 성립해야한다는 주장을 하셨는데,
    Mathematica에서 사용하시려면 다음과 같이 표현식을 수정하십시오.

    0=90*(sum[1/4^k] - (1/2-90*(sum[1/2^k])) for k = 1 to k

    (식이 하나이고 변수가 두 개일 경우 값을 구할 수 없기 때문에 A에 90도를 입력해봤습니다.)

    이 값은 ¼의 k승으로 무한작도를 이용해야만 가능한 결과가 도출되며, 극한값은 0입니다.
    (계산결과는 위 식을 mathematica에 입력해보셔도 됩니다.)

    결국 유한작도라는 angle trisection problem의 기본조건을 위배하게 됩니다.

    이 점 인정하시는건가요? <<<<<<<<<<<<<<<<<<<< 1



    제가 질문한 내용에 대한 답으로

    "n이 특정값이 아닌 무한대하는 추상적인 값"이라는 대답은

    적어도 특정 값은 아니다는 말로 해석해도 되겠지요?

    이 점 인정하시는 건가요? <<<<<<<<<<<<<<<<<<<< 2

    고로 유한작도로 특정 값에 수렴한다는
    이기두 선생님의 주장은 수리적으로도 성립하지 않고
    논리로 귀결되지 않는 추상일뿐입니다.

    더이상 개선된 내용없이 추정을 통한 검정을 요구 하지 않았으면 좋겠습니다.
    추정(estimation)은 통계적 방법론입니다.
    수학적 이해를 요구하시면서 더이상 추상이나 추정을 논한다는 것은
    이를 읽는 분들에게 고통스러운 경험일 수 있습니다.

    7684자리건 7684*7684 자리건 결국 1/4의 k승의 결과입니다.
    그 값이 수렴하도록 유한 작도에서 특정 1/4의 k승 값이 0이된다는 것은
    논리적으로 False, 즉 거짓입니다.

    이 점 인정하시는 건가요? <<<<<<<<<<<<<<<<<<<< 3

    1, 2, 3에 대해 먼저 답을 하시죠

    수식으로 주장하셨으면서,
    자신이 원하는 수식인지 모르겠다고 하시면
    답하는 저는 어떤 자세를 취해야하나요?

    그런 확실하지 않은 논리에 그만 답하겠다는 저에게
    토론에서 벗어나려한다고 말씀하시면
    저는 어떻게 반응해야할까요?
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    이정원여 2012.08.29 15:39
    앞으로 온오프 라인 모임에서 활동하면서 깊이 새겨 듣고 항상 명심하겠습니다. 옳은 말씀만하시니 덕분에 저 자신을 돌아보며 반성의 기회도 되었습니다. 옳은말씀, 감사합니다.
    댓글
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    이기두 2012.08.29 15:39
    매스매틱카를 잘 모르니까 잘 모르겠고, 적용도 해보고, 더 생각하겠다고 한 것이지, 맞다 틀리다는 말은 아닙니다.

    그만 답하겠다고 하시니까, 더 가르쳐 주실 분이 있으면 가르쳐 달라고 한 것 뿐입니다.
    많이 가르쳐 주셨는데 미안 합니다.

    좀더 생각해 보겠습니다
    1, 2, 3, 은 바로 답할 능력이 안 되는 것 같습니다.

    .
    수정 삭제 댓글
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    우현종 2012.08.29 15:39
    1, 2, 3은 저 스스로 만든 문제가 아닙니다.

    저는 단지 컴퓨팅 프로그램이 필요하겠다 싶어서
    mathemetica를 소개해드리고자 글을 올린 것이었고,
    저의 의견은 이기두 선생님의 수식을 mathematica로 풀어드린 것입니다.

    결국 1, 2, 3은 선생님께서 주장하신 내용에서 비롯된 결과입니다.

    논의를 확장하기 전에,

    먼저 1, 2, 3에 대해서 생각해보시고,
    1번은 mathematica 에 선생님께서 작성하신 수식을 넣으시면 이해가능하십니다.
    2, 3은 mathematica 없이도 답변 가능하십니다.

    토론에서 벋어나려한다는 말씀까지 하셨으니, 저도 지켜보겠습니다.
    책임있는 답변주십시오.

    정 힘드시다면 이 즈음해서 논의를 스스로 마쳐주십시오.
    댓글
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    이기두 2012.08.29 15:39
    1. 제가 매스매티카에 어떻게 수식을 넣어야 하는지는 모르겠는데, 이런 식으로, 이런 의미로 수식을 만들어보고 싶다고 했는데, 우성범님이 만드신 수식이 내가 생각하는 수식인지는 (수식의 의미를) 모르겠다는 것이었느데. 적용해 보니, 매스매티카에서 수식의 의미를 모르겠다고 합니다.....아마도 내가 제안한 것이 수리적으로 적절하지 않은 것 같습니다. 어떤 의미에서 적절하지 않은지는 나로서는 이유를 아직 모릅니다.
    2. "n이 특정값이 아닌 무한대하는 추상적인 값"---이 말이 오타가 있었는데, "n이 특정값이 아닌 무한대라는 추상적인 값"이 라는 것에 대해서 위에서 설명했습니다.
    위에서 설명한 대로만 보아 주십시요.
    3. 이것 역시 위에서 설명을 했습니다. 그 생각에 더 추가해서 설명할 것은 없습니다.
    4. 벗어나려한다는 말은 위에서 그만하고 싶다는 뜻을 반복해서 하셨기 때문에 더 이 문제에 흥미가 없다는 뜻으로 생각한 것입니다.
    더 확대 해석하지 말아 주십시요.
    매스매티카를 잘 몰라서 도움을 받고 싶었는데, 내가 좀 무리한 것 같습니다.
    거듭 사과드립니다.
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    이기두 2012.08.29 15:39
    결국 유한작도라는 angle trisection problem의 기본조건을 위배하게 됩니다.

    인정하시는건가요?
    .............................................................
    결국 이 말씀이 요점인데,

    저의 의도 자체가 유한작도가 되도록, 1/2^k와 1/4^k가 1/3(각도를 갖는 선)이라는 선을 중간에 두고,
    두 값의 차이가 0이 되는 점을 찾으면, 유한작도를 얻는다는 아이디어입니다.
    (위에 역시 오타가 있었는데, 수정하지 말라고 해서 고치지 못했습니다.)
    즉, [90*1/2^k]-1/3과 [90*1/4^k]의 값이 같은 곳에서 '중간값'을 얻는다는 아이디어였습니다만,

    솔직히 어디서 잘못되었는지 모르겠습니다.
    수정 삭제 댓글
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    우현종 2012.08.29 15:39
    1, 2, 3 어느 것 하나 수학적 결과에 대하여 인정하지 않으셨습니다.

    '이유를 모릅니다',
    '설명한 대로만 받아 주십시오',
    '추가해서 설명할 것은 없습니다.'로 답하셨습니다.

    1. 선생님 스스로 만드신 식입니다. 유효한 수식이니 입력해보십시오.
    (A에는 각도 90을 넣었습니다.)

    0=90*(sum[1/4^k] - (1/2-90*(sum[1/2^k])) for k = 1 to k

    이 식을 mathematica에 입력하여 정리하면 결과는 ¼의 k승으로
    무한작도를 이용해야만 가능한 결과가 도출되며, 극한값은 0입니다.
    (계산결과는 위 식을 mathematica에 입력해보셔도 됩니다.)

    스스로 작성하신 식을 직접 입력해보시면 되는 것을 왜 모르신다고 하십니까?

    입력해보십시오.

    결국 수렴하기 위해서는 유한작도라는
    angle trisection problem의 기본조건을 위배하게 됩니다.

    이 점 인정하시는건가요? <<<<<<<<<<<<<<<<<<<< 1




    2. "n이 특정값이 아닌 무한대라는 추상적인 값" 이라고 하셨는데,

    적어도 특정 값은 아니다는 말로 해석해도 되겠지요?

    수렴되지도 않고, 유한 작도라는 기본 조건에도 위배됩니다.

    이 점 인정하시는 건가요? <<<<<<<<<<<<<<<<<<<< 2



    3. 엑셀을 이용하여 26자리 수렴은 엑셀의 한계였음을 스스로 헛발질'이라고 밝히셨고,
    mathematica를 이용하여 7684자리에서 수렴한다는 증거도 보이지 못하셨습니다.

    엑셀이건 mathematica이건 간에
    유한 작도에서 특정 1/4의 k승 값이 0이된다는 것은
    논리적으로 False, 즉 거짓입니다.

    이 점도 인정하지 못하시는건가요? <<<<<<<<<<<<<<<<<<<< 3


    인정할 것은 인정하십시오.
    모른다고 토론에서 벋어나려 하지 마십시오.

    선생님 수준이시면 충분히 이해하실 수 있습니다.
    스스로 제기한 논의에 대해 책임지십시오.

    정 힘드시다면 이 즈음해서 논의를 스스로 마쳐주십시오.
    댓글
  • ?
    우현종 2012.08.29 15:39
    1번 '중간값'에 대한 논의로 축약되는건가요?

    그럼 2, 3에 대해서는 어떻게 정리하실건가요?

    ----- 댓글 수정하셔서 더 붙입니다------------

    결국은 중간값인가요?

    중앙값(median)도 아닌 선생님만 아시는
    정확하게는 선생님도 잘 모르시는 '중간값'?이라는 개념 등으로
    제논의 역설이 깨졌다고 주장하신건가요?

    이렇게 수학과 물리학에 대한 새로운 고찰을 밝히신건가요?

    1, 2, 3에 대해 답해보십시오.
    어느 것 하나 제대로 답하지 않으셨고,
    어느 것 하나 제대로 인정하지 않으셨습니다.

    배움에 대한 갈증은 좋습니다만,
    제가 아는 한,
    "틀린 것을 옳다"고 하는 상황을 그냥 두고 넘어가지는 않습니다.

    특히 선생님께서 유한작도로 수렴한다는 논리를 mathemetica를 통해서 확인한 것처럼 저의 이름까지 본문에 언급하시면서 말씀하시기에 저는 댓글을 달기 시작한 것입니다.

    mathemetica에서는 결코 그러한 결과를 보이지 않습니다.

    증거가 없다면 확인할 수 없습니다.
    하지만 저는 이미 그 결과를 확인했습니다.
    수렴하지 않습니다.

    각의 3등분 작도는 불가능합니다.

    답해보십시오.
    댓글
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    이기두 2012.08.29 15:39
    제가 대답한 것을 인정하지 않고, 계속 대답하라고 하시니 답답하네요.
    위에 대답한 부분을 다시 보시기 바랍니다.
    좀더 구체적으로 답변을 원하시면, 질문을 좀더 구체적으로 하십시요.
    "스스로 헛발질'이라고 밝히"의 뒷부분을 보면, 반전되어 다른 아이디어가 이어서 나온 것을 볼 수 있습니다.

    수렴값이라고 보는 것은 26자리 와 7638자리 이후는 더 K값을 넣어도 값이 더 이상 계산되지 않는 것을 볼 수 있습니다.
    엑셀과 메스메티카에 직접해 보십시요.
    그리고 "제논은...."에 제가 해본 것을위에 첨부시켜 놓았습니다.

    저도 이만 우성범님과 이 논의를 마치고 싶습니다.

    끝으로 하시고 싶은 내용이 있으시면 하십시요.
    수정 삭제 댓글
  • ?
    우현종 2012.08.29 15:39
    유한 작도에서 특정 1/4의 k승 값이 0이된다는 것은 논리적으로 False, 즉 거짓입니다.

    이 점도 인정하지 못하시는건가요?

    승수(k)가 7684이건 그보다 크건 간에 1/4의 K승은 0이 될 수 없습니다.

    컴퓨팅의 한계를 보며 헛발질이라 하셨으면서도 그 헛발질 또하고 싶으신건가요?
    댓글
  • ?
    우현종 2012.08.29 15:39
    현재까지 제가 인정해드릴 수 있는 것이 없습니다.

    왜냐하면,
    소위 '중간값'을 구하기 위해 스스로 만든 수식에 대해
    본인 스스로 확신하시지도 못하시는데
    제가 어떻게 인정을 해드릴 수 있을까요?
    댓글
  • ?
    이기두 2012.08.29 15:39
    온라인 토론은 그 자체가 한계가 있는 것 같습니다.
    여기까지 마치고 싶습니다.
    그동안 도와주신 분들께 감사드리고,
    우성범님 고맙습니다.
    매스매티카도 처음해 보았습니다.
    좀더 연습해서 헛발질하지 않고 헤메지 않도록 하겠습니다.
    수정 삭제 댓글
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    우현종 2012.08.29 15:39
    이기두 선생님께서는 본문에서 스스로 저를 찾으셨지만,
    저의 세 가지 질문에 대해서는 결코 명료하게 답하지 않으셨습니다.

    그리고 세 가지 질문 중 어느 것 하나 인정하지 않으셨고,
    "제논의 역설이 깨졌다", '중간값' 등에 대한
    논리적 근거도 어느 것 하나 구체적으로 보여주지 못하셨습니다.

    결국 갈증만 남기고,
    서로에게 소원한 심기만 남기게 되었습니다.

    이렇게 한 번 더 서로의 자세에 대해 깊이 생각해봅니다.

    배움이 있다면,
    이 상황을 대하는 백북스 회원분들의 자세, 진정성에 대한 또다른 관점입니다.


    배우려는 과정은 좋지만,
    '틀린 것을 옳다고 주장하는 것'은 논리적으로 거짓이며, 사회 해악이 될 수 있으니,
    그만큼 스스로 글과 언행에 책임감을 가져야함을 벌써 아시겠지요.

    저는 감히 선생님께 온라인에서 쉽게 고마움이나 미안한 맘을 표하지 못하겠습니다.

    오프라인에서 만나면 고개숙여 어른으로 맞이하겠습니다.

    부끄럽습니다.

    이만 물러갑니다.

    ------
    더 논의하실 내용이 있으시면,
    다음을 참조하십시오.

    제가 찾은 Angle Trisection에 관한 가장 충실한 자료
    (reference 꼭 모두 확인해보시길..)
    http://mathworld.wolfram.com/AngleTrisection.html



    Angle Trisection을 위한 여러가지 시도 (애니메이션 형식)

    http://demonstrations.wolfram.com/YatessTrisector/
    http://demonstrations.wolfram.com/KempesAngleTrisector/
    http://demonstrations.wolfram.com/PascalsAngleTrisection/
    http://demonstrations.wolfram.com/ArchimedessNeusisAngleTrisection/
    http://demonstrations.wolfram.com/GeneralizedTrisectionConstruction/
    댓글
  • ?
    이기두 2012.08.29 15:39
    저 혼자 뒷풀이 입니다.
    부디 댓글 더 바라는 것 아니니, 더 댓글 달지 말아 주십시요.

    이글 전에 이미 말했듯이 이 문제는 약간 일반적인 수학으로는 이해가 잘 안되는 영역인 것 같습니다. 말하자면 역학적으로는 도저히 말이 안 되는 영구기관에 힘빼는 것과 같습니다.
    언어를 잘 못 쓴 부분도 많이 있을 것이고,
    그저 혀가 짧아서 '바담풍'하더라도 '바람풍'으로 들어 주기를 바란 부분이 믾았던 것 같습니다.
    부디 잘 못한 부분이 많았더라도 너그럽게 봐 주시기 바랍니다.
    수정 삭제 댓글
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    김태균 2012.08.29 15:39
    댓을 달지 말라 하셨는데, 죄송합니다.

    이기두 선생님 1/4의 무한등비급수의 합을 하나의 집합으로 보면, 이건 countable set입니다. 직선 위에 표시를 해본다면 구멍이 많습니다. 자연수와 같은 집합이 되겠지요. 즉, 실수를 커버할 수 없다는 말입니다. 선이 아닙니다.
    맨 안쪽 호의 1/2 점에서 맨 바깥쪽 호를 1/4에서 3/1로 옮겨가는 과정에서 선을 그어서 중간 호를 교차시키는 점이 1/3을 지남은 분명합니다. 그러나 과연 1/4 등비급수의 합으로 그 점을 특정할 수 있을까요? 다시 말씀드리자면 이 집합으로는 선을 만들 수 없습니다.
    혹은 어떤 특정 n에 대해 중간 호(꼭 1/2 지점에 있을 필요는 없습니다. 사실 두 호 사이라면 어디든 상관없겠지요)의 1/3 지점을 통과한다고 가정해볼 수도 있겠습니다. 그렇다면 그것을 어떻게 확인할 수 있을까요?
    이런 문제들을 생각해보시면 좋을 것 같습니다.

    수업에서 좀더 얘기를 해보지요.
    댓글
  • ?
    이정원여 2012.08.29 15:39
    열공하시는 이기두선생님, 공부도 쉬어가면서^^ 지금 예술의 전당 한가람미술관에서 르브루박물관전이 진행중입니다. 그림에도 조예가 깊으신 선생님께서 좋아하실 듯 하여 추천합니다. 주말을 이용할 시 오디오가이드를 대여하기 위해 기다리는 시간도 30분 이상 소요됩니다. 아이폰을 사용하시는 분은 어플을 이용하시면 됩니다. 평일, 주말 오전 시간은 단체 관람객이 많아 평일 오후시간을 이용하시는 편이 여유롭게 관람하실 수 있습니다. 쪽지로 주소 보내주십시요. 혹 다른 회원님들도 필요하신 분은 주소 보내주시면 관람권을 보내드리겠습니다.
    댓글
  • ?
    이기두 2012.08.29 15:39
    김태균님/ 거의 정확한 지적을 해 주셨습니다.
    저도 지금 그것을 보고 있었습니다. 그런데 선이 그려지지 않는 것은 아니고요.
    n=1일때, 두번째호의 1/2^1과 4번째호의 1/4^1이 선으로 연결되고, 1/2^2와 1/4^2가 선으로 연결되고,....이런 식으로, 1/2^n-1/4^n으로 1/4는 1/3으로 1/2는 1/2로 4등분의 2번째칸을 나눕니다.
    새로 첨부한 위쪽 그림에서 2번째 호의 중간점(2등분점)이 약간 오른 쪽으로 이동해서 두 번째칸의 중간으로 수렴해 가게 됩니다.

    그런데 이 선의 이동 중에 1/3의 선의 중간점(소위 중간값)을 지나게 됩니다.
    그런데 불확실한 것은 이때 이 선의 궤적 중에 이 1/3의 선의 중간점을 찍고 가는가 아니면 비켜 가는가 하는 것이 하나의 논점으로 남는 것 같습니다.
    2와 4의 중간이 3이니까 당연히 찍고 간다고 생각하고 싶지만, 제 희망이고, (직관적인 눈계산으로는 그렇게 되어야 할 것 같은데,) 확실한 것은 계산식으로 확인해야 하는데, ....
    이것을 증명할 수 있는 식이 가능할까요?
    위에 제시된 식은 매스매티카에 넣으면, 식의 의미를 모르겠다는 메세지가 뜹니다

    L= piD=npiD1/n

    이 식이 실마리가 될 수 있을까요?
    처음에 각을 3등분하는 법에서 쓴 것인데, 이것이 실마리를 줄 듯도 하고.
    매스매티카를 잘하시는 분은 하실 수 있을 것 같은데,
    이것은 위의 식과 같은 어떤 노력이 더 필요한 것 같습니다.

    0=90*(sum[16pi/4^k] - (1/3-90*(sum[4pi/2^k])) for k = 1 to k

    위 식을 고친 것이고,,
    K를 대충 200을 넣고 계산해 보았는데.
    매스매티카가 이식을 이해하지 못하겠다고 해요.
    어떻게 수정해야 할 지....

    원래 의도는
    for k = 1 to k 가 아니고,
    (위 식을 만족시키는 k는 몇이냐?)를 묻고 싶은건데,
    같은 뜻인가요?

    김태균님처럼 좋은 지적을 해 주면,
    기분이 다시 살아 납니다. ^ ^
    수정된 그림 위에 넣었어요.


    이정원님도 감사합니다!!

    ^ ^
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    김태균 2012.08.29 15:39
    이기두 선생님,

    “그런데 불확실한 것은 이때 이 선의 궤적 중에 이 1/3의 선의 중간점을 찍고 가는가 아니면 비켜 가는가 하는 것이 하나의 논점으로 남는 것 같습니다.”

    이것은 단순한 논점이 아닙니다. 애초에 문제의 핵심입니다. 그리고 직관적으로, 확률적으로 그런 일은 일어나지 않을 것 같습니다. 문제는 말씀하신 증명은 이 핵심에 전혀 다가가지 못하고 있는 것으로 보인다는 점입니다.

    이 문제의 증명을 위해 지금까지 하신 일을 정리해보면, 맨 바깥 호의 점이 1/3 지점으로 진행한다(이것을 엑셀이나 멧쓰메티카로 계산하셨죠? 컴퓨터의 한계도 확인하셨고요). 그 과정에서 중간 호의 점도 1/3을 지난다. 그런데 이것이 계산이 필요한 일인가요? 이미 자명한 것 아닙니까? 그리고 문제를 푸는 데 아무 도움이 안 되고요.

    우리는 분명 1/3 점이 존재한다는 것을 압니다. 다만 그것을 특정할 수 없을 뿐입니다.

    제가 보기엔 안쪽 호의 점을 옮기거나, 바깥 호의 점을 옮겨가는 행위는 이 문제에 하등 도움이 안 됩니다(논외지만, 안쪽 호의 점을 옮기는 것은 오류가 있어 보입니다). 두 점을 이은 선이 우연히 1/3 점을 교차할 것이라는 ‘기대’, 차라리 로또를 사는 편이 좋을 것 같습니다.

    문제를 다른 시각으로도 보시면 좋을 것 같습니다.

    맨 안쪽 호의 1/2 점, 그리고 중간의 1/3 점을 알고 있다고 생각해 보세요. 그 두 점을 이었을 때 맨 바깥 호의 점을 계산할 수 있을까요? 그 점이 1/4 등비급수 집합에 포함될까요?
    댓글
  • ?
    이기두 2012.08.29 15:39
    매스매틱스 계산으로도 정확한 값이 나오기 어렵고,
    판단하기 곤란한 것 같습니다.
    각의 3등분 작도의 완전한 해결목표만 내려 놓으면,

    어쨌든 과정에서 몇가지 부차적인 것을 얻은 것으로 위안을 삼고,
    각의 삼등분에서도 다른 방향에서 나름의 성과도 있었던 것 같습니다.

    수학 아카데미에서 같이 생각하면서 정리를 하고 싶습니다.
    김형렬님을 비롯해서 도와 주신 분들께 감사드립니다.
    수정 삭제 댓글
  • ?
    이기두 2012.08.29 15:39
    위에 첨부한 매스매티카의 계산을 보면,
    k=1일 때,
    1/3이라고 말하네요.
    90도 기준으로 4등분한 상태에서, 한 번만 4등분을 더해서 제 방법을 적용했을 때가, 가장 정확한 3등분이랍니다.
    여기의 1회라는 의미는 직각 이하에서 처음 4등분을 적용하고,
    그 4등분의 2번째 호의 중간과 4번째호의 첫번째 등분점에서 부터.
    두번째 마디를 한번만 더 4등분해서 제가 처음에 제시한 반법을 적용하면,
    3등분이 된다는 의미입니다.

    어제 이 결과를 보았지만, 저 자신도 믿을 수 없어서
    지웠었는데, 오늘 다시 확인 해 보니 분명하네요.

    그래프도 k=1에서 거의 일치하고 있음을 보여 줍니다.
    1-0.99999......정도의 차이는 있는 듯합니다만,
    그래프 바로 아래의 계산은 3등분으로 인정하고 있습니다.

    k와 1 사이에 계산하기 곤란한 차이는 있어도,
    계산은
    3 등분으로 인정할 만하다고 말하고 있습니다.

    결과는
    3등분이 불가하다는 분들도 안심시키고,
    가능하다는 저도 만족하게 합니다.


    캐드로 그려서 검산해 보아도 이상이 없습니다.
    그려보시길 바랍니다.
    0=90/4-7.5*3

    제 캐드(sketchup)가 좀 꾸려서 믿기는 좀 그렇지만.
    수정 삭제 댓글
  • ?
    김태균 2012.08.29 15:39
    이기두 선생님의 식이 어떤 의미인지 저는 모르겠습니다. 수업에서 설명해주시겠지요.

    첨부하신 그래프가 잘 안보여서 확대해봤습니다. 1/6=1/12 일 수는 없겠지요.

    http://img521.imageshack.us/img521/3704/graphq.jpg
    댓글
  • ?
    이기두 2012.08.29 15:39
    1/6=1/12이라는 의미가 무언지 저도 잘 모르겠습니다만,

    아마 물리적으로 보면, 프랑크 단위 만큼인지, 다른 것인지는 저도 잘 모르겠습니다. ^ ^

    혹 그러니까, 같다고 했겠지요. ^ ^

    제가 같다고 한 것은 아니니까, 제게 묻지 마시고,

    수학에 물어 주십시요.

    아마도 단지 이만큼만 차이가 난다는 것이

    불가론과 가능론을 모두 안심시키는 것이 아닌가 합니다만.


    수리연구원의 수학자에게 물어 보았지만, 제가 주장하는 것에 반론을 찾는데,

    시간이 많이 필요한데, 그럴 시간은 없다고 합니다.

    맨 위의 식의 의미는 물론 제가 넣은 것이니까,

    설명할 수 있습니다.

    ...
    수정 삭제 댓글
  • ?
    이기두 2012.08.29 15:39
    중요한 것은

    제가 매스매티카에 질문한 것은 k값 즉 몇 회 등분했을 때에

    정확한 3등분을 얻을 수 있는가를 물은 것이고,

    그래프는 k가 1일 때이라고, 답한 것 같습니다만.

    맨 밑 해는 복소수값을 나타낸다고 말하고 있는데,

    그 값이 얼마 만큼인지는 다시 계산이 필요한 것 같습니다.


    .
    수정 삭제 댓글
  • ?
    이기두 2012.08.29 15:39
    이런 해석이 가능한지 모르겠습니다.

    1/6= 1/12는 단지 k가 1일 때, 3등분선(위에 그림에서 실선)으로

    2번째 호에서 (2/3*1/2^k)로 (3등분선 까지의 2/3각에 대하여) 1/6각이 다가가고,

    4번째 호에서는 (1/3*1/4^k)로 (3등분선 까지1/3각에 대하여) 1/12각이 다가가게 된다는 해석이 되는 것 같습니다.

    즉, 결과로 같은 비율 1/4각 씩이 남는 것입니다.
    이 때, 2등분 호 위에서 예상하는 3등분점에서 1/4각이 외쪽으로 떨어진 점과 4등분호 상에 예산하는 3등분 선에서 오른쪽으로 1/4각 만큼 떨어진 점을 이은 선분은 3번째 호에서 3등분점이 되는 것입니다.

    그리고 이때가 제가 요구하는 값( 3 등분 할 수 있는 점)이라는 것입니다.

    ------------------------------------------------------------------

    위에 올린 글의 맨 밑에 첨부한 매스매티카에서 계산 결과를 보인 캡처에서,
    입력난에 넣은 수식의 제 의도는

    바로 위 그림상의 2번호와 4번호에서

    3등분선에 대하여, 서로 반대편으로 같은 거리를 찍는 횟수인 k에서,

    얻는 그 두 점을 이은 대각선은 3번째 호에서 3등분을 얻는다는

    생각으로 만든 수식입니다.

    .
    수정 삭제 댓글
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