이기두 선생님께서 '수학계 미제, 문외한이 풀어내다'고 용감하게 외치셨을때, 초반엔 재미있었습니다.
무엇보다 그림이 재미있었습니다.
그리고, 이어진 갑론을박에서 이게 왜 미제인지, 그리고 이에 대한 잘못된 답을 정답으로 착각하는 예들도 알게되었습니다.
(http://navercast.naver.com/contents.nhn?contents_id=7385 ; 서영석님이 걸어준 링크로, 모든 논란이 해설되어 있어서 재미나게 잘 보았습니다.)
위의 네이버 글에 보면, 이기두 선생님께서 쓰신 무한등비 급수를 이용한 방법 또한 나옵니다.
(초항과 공비를 다른 숫자로 이용했다 뿐이지, 본질적으로는 1/3에 수렴해 가는 등비급수를 이용한 '제도'란 측면에선 동일합니다. 작도와 제도의 차이에 대해서도 윗글에 잘 설명되어 있습니다.)
또 하나 재미있던 것은, '각 3등분에 성공했다'는 분들이 상당히 많다는 사실입니다.
어느 수학도의 블로그엔 아예 대문에 '각 3등분 작도 했다고 주장하는 분들은 오지 말라'고 써붙여 놓았더군요. 얼마나 많으면...
이쯤에서, 모두 수긍하고 마무리 되었어야 했는데, 이후에는 소모적인 주장 반복이 이어질 뿐이었구요.
일단 중지하고 오프 라인에서 이야기 더 해보고, 온라인 논쟁을 이어가자는 제안도 말로는 수용되었지만 행동으로는 파기되고 말았습니다.
이에 이 논란을 지켜보는 관람객들께 확실히 해둘 부분이 있어, 저도 몇자 올려보겠습니다.
저는 이기두 선생님의 주장이 아주 기초적인 부분에서부터 잘못되었다고 생각합니다.
매우 쉬운 수학으로 쉽게 풀이되는 주장도 섞여있습니다. (말 그대로 섞여 있습니다.)
0. 네이버 글(위의 링크)에 소개된 잘못된 예와 동일한 방법을 사용하셨습니다. (무한번 쪼개기)
이미 여기서 논란은 끝난 것입니다. 일말의 여지도 없이요.
1. 제가 여러 차례 '점 b와 c가 호3을 3등분하는 이유를 말씀해 주십시오.' 라고,
이기두 선생님의 작도에 대해 설명을 요구하였습니다.
중간값이라는 어디에도 없는 개념으로 답하셨습니다. (설명을 못하신 겁니다.)
2. '무한번 손을 써야 하는' 방법은 작도에 실패한 것임에도 불구하고, 무한번 그리면 3등분 되므로
각 3등분에 성공하였다고 주장하셨습니다. 그것도 반복적으로.
3. 지난번 글에서는,
'내가 제시한 각을 3등분하는 방법은 ¼을 모듈로한다.
하지만 실제로는, 그 전에 그림으로 제시하셨던 방법과 다른 모델입니다.
예전 그림 ; 각을 1/4로 나눈 선과 1/2로 나눈 선의 어떤 두점을 이어서, 그 사이의 호와 만나는 지점을 '중간값'이라 칭하며, 새로운 선을 그었음.
(이 새로운 지점은 각의 1/4이 아닌 1/4 + a 인 지점. a가 얼마인지 모릅니다. 물어봐도 대답을 안(못)해주시니...)
위의 급수 ; 각 1/4 등분에 ¼2 등분을 더하고 또 ¼3을 더하고... 결국 급수.
최초에 그림으로 제시하신 방법을 수리적으로 풀때는 다른 방법으로 푸셨습니다. 같은 것이라고 오해하고 계십니다.
(이 부분은 중요하진 않습니다. 어차피 둘다 각 3등분 작도 방법으론 실패니까요.)
4. 쉬운 수학을 굳이 어려운 프로그램 돌려서 오히려 복잡하게 되었습니다.
¼, ¼2, ¼3, ¼4, ¼5, ¼6, ¼7,........... ¼n, 이 문제는 심플한 무한 등비급수 문제이구요.
이미 우리 모임 5차에서 공식까지 유도했었습니다.
초항 ; 1/4. 공비 1/4인 무한 등비 수열의 합은?
S = a/ (1 - r) 즉 (1/4) / (1-1/4) = 3/1 입니다. 아주 간단하게 1/3이 나옵니다.
이걸 왜 엑셀이며 매쓰머시기며, 울프머시기며, 써서 몇자리까지 내려가나 보고 더하고 오차를 보고 할 필요가 있는 건지요?
1/3로 수렴함은 아주 쉬운 수학으로 (더구나 함께 모임에서 공식까지 유도했던) 해결되는데요...
------------------------------
결론적으로는,
과정과 결과 모두 실패한 방법이 맞습니다.
그리고, 실패를 이해하고 수긍하는데도 실패하셨습니다.
그 이유는 서영석님과 김형렬님이 둘러 둘러 말씀하신 바대로, 기초적인 수학 룰에 대해 정확하게 이해하지 못하고 있으신데에 있는 것입니다.
p.s. 지금은 '수학과 물리학의 모순없는 수론'을 논할 단계는 아니신것 같습니다. 지금은 저도 그렇고 이기수 선생님도 그렇고 함께 오프라인에서 더 정확하게 기초를 닦는 과정을 차근히 밟아가는게 맞다고 봅니다.
한달에도 두어번씩은 뵙고 함께 공부하고 이야기도 많이 나누었기에, 저의 직언을 이해해 주시리라 믿습니다. 다소 거친점 있었다면, 젊은 혈기려니 하고 너그러이 이해해 주시길 바랍니다.
무엇보다 그림이 재미있었습니다.
그리고, 이어진 갑론을박에서 이게 왜 미제인지, 그리고 이에 대한 잘못된 답을 정답으로 착각하는 예들도 알게되었습니다.
(http://navercast.naver.com/contents.nhn?contents_id=7385 ; 서영석님이 걸어준 링크로, 모든 논란이 해설되어 있어서 재미나게 잘 보았습니다.)
위의 네이버 글에 보면, 이기두 선생님께서 쓰신 무한등비 급수를 이용한 방법 또한 나옵니다.
(초항과 공비를 다른 숫자로 이용했다 뿐이지, 본질적으로는 1/3에 수렴해 가는 등비급수를 이용한 '제도'란 측면에선 동일합니다. 작도와 제도의 차이에 대해서도 윗글에 잘 설명되어 있습니다.)
또 하나 재미있던 것은, '각 3등분에 성공했다'는 분들이 상당히 많다는 사실입니다.
어느 수학도의 블로그엔 아예 대문에 '각 3등분 작도 했다고 주장하는 분들은 오지 말라'고 써붙여 놓았더군요. 얼마나 많으면...
이쯤에서, 모두 수긍하고 마무리 되었어야 했는데, 이후에는 소모적인 주장 반복이 이어질 뿐이었구요.
일단 중지하고 오프 라인에서 이야기 더 해보고, 온라인 논쟁을 이어가자는 제안도 말로는 수용되었지만 행동으로는 파기되고 말았습니다.
이에 이 논란을 지켜보는 관람객들께 확실히 해둘 부분이 있어, 저도 몇자 올려보겠습니다.
저는 이기두 선생님의 주장이 아주 기초적인 부분에서부터 잘못되었다고 생각합니다.
매우 쉬운 수학으로 쉽게 풀이되는 주장도 섞여있습니다. (말 그대로 섞여 있습니다.)
0. 네이버 글(위의 링크)에 소개된 잘못된 예와 동일한 방법을 사용하셨습니다. (무한번 쪼개기)
이미 여기서 논란은 끝난 것입니다. 일말의 여지도 없이요.
1. 제가 여러 차례 '점 b와 c가 호3을 3등분하는 이유를 말씀해 주십시오.' 라고,
이기두 선생님의 작도에 대해 설명을 요구하였습니다.
중간값이라는 어디에도 없는 개념으로 답하셨습니다. (설명을 못하신 겁니다.)
2. '무한번 손을 써야 하는' 방법은 작도에 실패한 것임에도 불구하고, 무한번 그리면 3등분 되므로
각 3등분에 성공하였다고 주장하셨습니다. 그것도 반복적으로.
3. 지난번 글에서는,
'내가 제시한 각을 3등분하는 방법은 ¼을 모듈로한다.
¼, ¼2, ¼3, ¼4, ¼5, ¼6, ¼7,........... ¼n, 으로 나누어 가면서 정확한 ⅓의 등분을 찾는 것이었다.' 라고 하셨습니다.
하지만 실제로는, 그 전에 그림으로 제시하셨던 방법과 다른 모델입니다.
예전 그림 ; 각을 1/4로 나눈 선과 1/2로 나눈 선의 어떤 두점을 이어서, 그 사이의 호와 만나는 지점을 '중간값'이라 칭하며, 새로운 선을 그었음.
(이 새로운 지점은 각의 1/4이 아닌 1/4 + a 인 지점. a가 얼마인지 모릅니다. 물어봐도 대답을 안(못)해주시니...)
위의 급수 ; 각 1/4 등분에 ¼2 등분을 더하고 또 ¼3을 더하고... 결국 급수.
최초에 그림으로 제시하신 방법을 수리적으로 풀때는 다른 방법으로 푸셨습니다. 같은 것이라고 오해하고 계십니다.
(이 부분은 중요하진 않습니다. 어차피 둘다 각 3등분 작도 방법으론 실패니까요.)
4. 쉬운 수학을 굳이 어려운 프로그램 돌려서 오히려 복잡하게 되었습니다.
¼, ¼2, ¼3, ¼4, ¼5, ¼6, ¼7,........... ¼n, 이 문제는 심플한 무한 등비급수 문제이구요.
이미 우리 모임 5차에서 공식까지 유도했었습니다.
초항 ; 1/4. 공비 1/4인 무한 등비 수열의 합은?
S = a/ (1 - r) 즉 (1/4) / (1-1/4) = 3/1 입니다. 아주 간단하게 1/3이 나옵니다.
이걸 왜 엑셀이며 매쓰머시기며, 울프머시기며, 써서 몇자리까지 내려가나 보고 더하고 오차를 보고 할 필요가 있는 건지요?
1/3로 수렴함은 아주 쉬운 수학으로 (더구나 함께 모임에서 공식까지 유도했던) 해결되는데요...
------------------------------
결론적으로는,
과정과 결과 모두 실패한 방법이 맞습니다.
그리고, 실패를 이해하고 수긍하는데도 실패하셨습니다.
그 이유는 서영석님과 김형렬님이 둘러 둘러 말씀하신 바대로, 기초적인 수학 룰에 대해 정확하게 이해하지 못하고 있으신데에 있는 것입니다.
p.s. 지금은 '수학과 물리학의 모순없는 수론'을 논할 단계는 아니신것 같습니다. 지금은 저도 그렇고 이기수 선생님도 그렇고 함께 오프라인에서 더 정확하게 기초를 닦는 과정을 차근히 밟아가는게 맞다고 봅니다.
한달에도 두어번씩은 뵙고 함께 공부하고 이야기도 많이 나누었기에, 저의 직언을 이해해 주시리라 믿습니다. 다소 거친점 있었다면, 젊은 혈기려니 하고 너그러이 이해해 주시길 바랍니다.
제가 해명할 부분은
1. 무한히 쪼개면, 1/3에 도달한다고 주장하는 것이 아니고,
---무한 번 손을 쓰는 것은 그자체가 작도로 인정되지 않습니다.---
무한히 쪼개지 않더라도 유한번 등분으로 완전한 1/3에 도달한다는 것을 주장하고, 이것을 수리적으로 논증한 것이 ' 제논의 역설은 깨졌다'는 글입니다.
2. S = ¼, ¼2, ¼3, ¼4, ¼5, ¼6, ¼7,........... ¼n, 이 1/3에 수렴하기 때문에, 4등분한 것과 2등분의 중간점이 연결된 선의 중간점인 중간값은 무한히 등분하여 1/3에 도달하기 이전에, 유한번 등분으로 1/3에 도달한다는 것입니다.
3. 엑셀과 매스매틱스 프로그램을 이용한 것은 앞의 2.를 증명하기 위해서 이용한 것인데, 덤으로 유한자리를 연산하는 프로그램의 결과가 무한등분을 하지 않고도 무한등분과 같은 결과를 얻는다는 것을 보게 되므로서, 제가 증명하려고 한 것을 더욱 보강해 주는 효과를 얻게 된 것입니다.
2000년을 유지한 수학의 난제를 논하는 것이, 근본적으로는, 기존의 수론의 틀 안에서 논의가 완성되리라고 생각하는 것은 약간 접어 두어야 할 것 같습니다.
한국과학기술원(KIST)에서 수학의 난제를 연구하는 수학난제연구원(?)을 설립하려는 이유도, 기존의 수학의 틀을 벗어난 큰 수학을 얻고져 하는 목적이 있는 것으로 압니다.
그러니까,
수학의 난제에 접근한다는 의도 자체 속에 기존의 수학의 틀을 벗어나서 수학을 생각한다는 전제가 포함되어 있는 것 같습니다. 그래서 논란도 많고, 대부분의 경우에 '오묘한 방법'이 나오는 것 같습니다.
'죄는 미워해도 사람은 미워하지 말라'는 법언처럼, '오묘한 방법'에 대해서 수리적으로 또는 논리적으로 비판은 하더라도, 사람은 미워하지 말아야 할 것 같습니다.
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