저도 그려보았습니다.
그래서 '각도를 작게 나누면'이라는 말을 되풀이 한 것입니다.
큰 각도에서는 바깥 호(4 번 째)와 내부의 호(2 번째)의 굴곡차이로 오차가 생기는 것을 확인 했습니다.
또 컴퓨터의 해상도와 프로그램상의 원의 등분수에 의한 어긋남으로 생긴 오차가 포함되는 것도 볼 수 있었습니다.

그러나 각도를 4등분에서 8등분, 16등분으로 늘리면 오차가 2^n배로 줄어듭니다.
n보다 2^n이 월등히 크게 증가하기 때문에, 무한 번 등분하지 않아도
오차없는 3등분을 얻을 수 있다는 것은 논리적으로 타당할 것입니다.

작도는 무한 번 손을 쓰는 것을 금지하지만,
유한 번 손을 쓰는 것은 금지하지 않는 것으로 압니다.
90도를 16등분해서 4 개씩 나누어 제 방법을 적용하여 그려보시기 바랍니니다.
제 컴실력이 꾸려서 소수점을 한자리까지만 표시하는 것을 고치지 못 해서 확인하지 못했는데,
몇 째자리에서 오차가 나타나는지 보고 싶습니다.

각의 3등분 문제는 눈금없는 자와 컴퍼스만을 사용하는 작도를 말하는 것입니다.
수를 적용해서 엄밀성을 요하는 것이 아니고,
기하학적으로 옳은 논리가 적용되는가와
눈(감각적)으로 보아서 구별이 안 될 정도인가를 보는 것이라고 생각합니다.
과학의 발견에도 몇 시그마를 적용합니다.
보통 공학에서 소수점 2 자리 이하는 감각적으로 구분이 불가능하다고 말합니다.
그런 기준으로 보면, 90도를 8등분 또는 16등분 정도하면 통과할 것으로 생각됩니다만. 만약 더 엄밀한 기준이 필요하다면 5회정도 등분을 해보기 원합니다.
일반적으로 컴에서 표시하는 정도에서는 거의 오차를 발견하지 못할 것입니다.

그러나 오차의 정도가 문제가 아니고,
논리적으로 유한 번 시도로 오차없는 등분을 얻을 수 있다는 것으로 족한 것입니다.

보다 중요한 것은 제가 증명한 대로,
각을 3등분하는 것이 불가능하다는 기존의 학계의 독트린을 유지하면,
수학적으로 더 큰 모순을 갖게 된다는 점입니다.

.

점 b는 (호2를) 2등분(하는 점e)와 (호4를) 4등분(하는 점들 중의 점g를 연결하는 선분)의 중간값, 점c는 (호2를) 2등분(하는 점e)와 (호4를) 4등분(하는 점들 중의 점f를 연결하는 선분)의 중간값으로 (점b와 점c에 의해서) 호3을 3등분하는 점입니다"
이렇게 썼어야 했습니다.
너무 많은 생략을 했네요.
흔히 내 머리에 있는 것을 다른 사람도 알고 있는 것으로 착각하는 수가 있지요. 이 경우가 딱 그런 것 같습니다.
과학이나 기술적인 것을 쓴다는 것이 얼마나 어려운지 실감합니다.

이것은 과학이 아니고 수학이라는 점을 생각해야 할 것입니다.
수학 중에서도 가장 비엄밀 수학인,
측정을 필요로 하지 않는 작도의 문제입니다.
눈금이 없는 자를 사용한다는 뜻을 다시 생각하셔야 할 것 같습니다.

n:2^n의 관계는 수학에서
칸토르의 대각선 논법이 참고가 될 것 같습니다.

2^n이라고 겸손하게 말했지만, 이보다 몇 배 빠르게 각의 차이가 줄어듭니다.
아마 3^n배일 것으로 생각됩니다.

그리고 각도라는 것이 최대가 360도입니다.
무한대와 0 사이가 360일 뿐입니다. 아니 작도에서는 90만 생각하면 됩니다.
보통 우리가 수직선으로 보는 무한대의 수가 아닌 것입니다.
90도를 90등분하며, 1도입니다.

물으신,
90도에 대하여 n이 4이면 각도 오차가 도0.000005645029입니다.
n이 5이면, 0.000000069691도의 오차입니다.
이정도의 오차이면, 호2와 호4는 굴곡이 사라지고 직선으로 보일 것입니다.
실용적인 면에서는 이론적으로 충분합니다.
대각선의 중간값은 2번호와 4번호의 길이차이/두 호의 반지름의 1/2의 차이 만큼의 오차가 나게 됩니다.
n이 5까지만 생각해도 이 정도 인데, 미심적으로 10 까지 계산해 보십시요.
컴의 해상도 문제로 작도 불능이 될 것입니다.
무한번이 아니고, 단지 n이 10 이내에서만 생각해본 것입니다.
이런 개념을 거부한다면, 수학계가 미적분을 부인해야 할 것입니다.

각이 무한이 0에 가까워지면
각을 만드는 두선이 수평선으로 본다고 할 수 있겠습니까.
그리고 이 경우에
이 작도가 오차 0에 도달 할 수 있겠습니까?
그런데 n과 4^n의 관계 때문에 n이 무한일 필요가 없게 됩니다.
이것이 칸토르의 대각선 논법을 차용하여 설명할 수 있는 것 같습니다.
이것을 수학계가 부정하면, 실수가 다른 수와는 차원이 다르다는 칸토르의 정리를 부정하는 것이 됩니다.
더구나, 앞에 말한 것처럼,
엄밀과학이 아니고, 단지 작도입니다.
측정값이 아니고,
논리적 정합성이 중요할 뿐입니다.

수리학계에서 새로운 증명을 견고하게 막고 있는 것은 단지 증명되었다고 선언하였기 때문일 것입니다.
또 그동안 발표된 새로운 방법이라는 것이 네이버 오늘의 과학에서 대표적으로 소개되는 것 조차도 조민수 박사님이 말씀하신 것처럼 오묘한데, 그외의 것들이야 일러 무삼하겠습니까.

그러나 저는 학계에서 인증한 방첼의 증명이 수리적으로 모순이라는 것을 지적했습니다.
단순히 이것을 증명했다고 하는 것과
이미 증명되었다고 하는 것이 수리적으로 모순이라고 하는 것과는 파워가 다를 것입니다.

.

2 등분과 4등분사이에 중간값으로 3등분이 존재한다는 뜻입니다.

이미 있는 말이 아니고, 새로운 방식으로 전개하는 과정에서, 없는 것을 새로이 작명하는 것이기 때문에 애매할 수 있지만,

4등분점과 2등분점을 연결한 선분이 두 호의 중간에 낀 호3과의 접점에 중간값으로 호3의 3등분점이 있다는 뜻입니다.

중간값은 선분의 중간인 동시에, 2등분과 4등분의 중간인 3등분이기 때문에 중간값이라는 말이 사용된 것입니다.

즉 중간이라는 의미에 길이와 각도가 혼합되어 작용했기 때문에 중간값이라는 용어가 선택된 것입니다.

칭찬해 주시니 고맙습니다.
저는 말씀하신대로 순수한 백북스표 학생입니다.
오랫동안 공부를 안 하다 백북스에 오고서 백북스 안에서 공부를 다시 했으니까요.

그런데 1/(생각할 수 있는 가장 큰 수)는 0이 아니다. 이 부분 말씀의 취지를 설명해 주시지요 .

저도 지난번 올리신 재미있는 작도를 보고, 차근히 따져 보았습니다.

문제는 서영석님이 지적한 부분. 즉 '여기서 점 b, 점 c는 2등분과 4등분의 중간값으로 호 3을 3등분하는 점입니다.'이라고 저도 같은 생각을 했습니다.
(점 b와 c가 호3을 3등분 하는 이유는? 3등분한다는 논리적 이유가 따로 없어 보입니다.)

'비엄밀 수학'은 모순형용 같습니다. ㅎㅎㅎ.

4 + 2 = 6
6 / 2 = 3

두번 째 식이 중간값의 설명이라면,
설명이 될까요?

이 문제에는 단순하지 않은 많은 수리적 논점이 복합되어 있는 것 같습니다.

거의 0과 0 사이에서
진짜 0 에서는 더이상 작도가 불능입니다.
하나의 선이니까요.
이 작도문제를 생각할 수 있는 것는 거의 0까지 수렴할 때입니다.

이 문제에는 수리적인 논점이 수학기초론에 연결되고 있습니다.
3등분가능성의 증명에 관한 부분은 거의 막장에 이른 것 같습니다.
수리적으로 어느쪽으로 가야 하는가에
달려있는 것 같습니다.

정수론의 모순을 가지고,
불가론을 택할 것인가,
가능성론을 택하여
정수론의 모순을 극복할 것인가.

수학자의 대답을 듣고 싶습니다.

그렇찮아도 육형빈님이 많이 생각났습니다.
혼란한 세상을 잠재울
고수님의 일필휘지가 필요합니다. ^ ^

.

'4 + 2 = 6
6 / 2 = 3

두번 째 식이 중간값의 설명이라면,
설명이 될까요?'

아니요.
설명이 전혀 되지 않습니다.

설명이 안되는 것을, 여러가지 다른 이야기로 매꾸려 하시는 듯합니다.
안 매꿔지는 것 같습니다.

점 b와 c가 호3을 3등분하는 이유를 말씀해 주십시오.

(이유를 말씀 못하시는 것으로 보아, '대충... 어림잡아... 아마도... 느낌상...'이 그 이유가 아닌가 의심해 봅니다.)

3등분불가론의 견해는
아마도 각의 오차를 Pi(d4-d2)로 생각하는 것 같습니다.
그러니까 무한히 등분해해도 무한소는 영원히 0가 되지 않는다고 생각하게 됩니다.

그러나 3등분가능론을 주장하는 제 입장은
각의 오차는 pi(d4-d2)/(4*d3*3^n)입니다.
그런데 분자인pi(d4-d2)/4는 3^n배의 속도로 감소하고,
tan x=pi(d4-d2)/(4d3*3^n)의 곡선은 90도 선에 급격히 수렴해 갑니다.
이때 n이 증가할 때, tan x의 곡선는 어느 n이상이 되면, tan x곡선이 90도선에 수렴해서 90선에 대하여 기차레일처럼 평행선을 달리게 됩니다.
더이상 n을 증가시키는 것이 무의미한 상태가 되는 것입니다.
이때 tan x의 증가속도가 매우 급격히 증가하기 때문에,
일반적인 탄젠트 곡선이 아니고, 탄젠트 곡선에 분모를 지수함수로 나누는 것을 유의해야 합니다. (위 식에서 4*3^n이 위에 곱해졌지만, n의 증가로 pi(d4-d2)/3^n*4으로 감소하는 것을 나타냄)
바느질하는 바늘처럼 더 뾰족한 곡선을 생각해야 ^ ^
그 어느 n이 매우 큰 수가 아니고, 위에 토론에서 제가 말한대로
5~10 정도 이내에도 수렴값에 도달할 수 있고,
이 작도의 관점에서는 n이 20~30 이면 이미 천문학적 숫자이고,
그러니까 오차가 0가 되기위해서 n이 무한대가 될 필요가 없다는 것입니다.

이것이 '대충, 어림잡아'가 아니고, 수리적인 논리로 말하는 것이라는 것을 이해할 수 있을 것입니다.

이 후로는 각의 3등분 방법 자체 보다는
여기서 제기된 수리적, 기하적인 논점에 대한 음미를 해 주셨으면 좋겠습니다.

엄밀히 말하자면, 디지탈과 아날로그가 같을 순 없습니다. (저는 여기에 한 표)
이 말에 동의하신다면, 이해가 되실 것 같은데요..

1/무한대=0 이라는 것은 편의상 그렇게 해도 된다는,
살아가는데 무리가 없다는 조건부 약속이긴 합니다만,
그렇다고해도 저는 살아가면서 디지탈과 아날로그가 분명 다른 것을 압니다.

특히, 수학과 같은 '엄밀'한 분야에서는 이 조건부 약속을 모든 세계에 적용하지 않는 주의가 필요할 것 같아요.. ^^

저는 1/무한대는 ㅇ인가, 아닌가와는 다른 것을 생각하고 있는 것입니다.

유리수와 실수가 어떻게 다른지를 생각하는 것이 필요합니다.

.

위에 설명대로 설명할 수도 있고,
유한 번 손을 쓰는 것만 허용된다는 것에 의해서 설명해도 결과는 같습니다.

손을 쓰는 회수는 n으로 정수배 이고, 호가 분할 되는 회수는 3^n배이므로,
분할 회수를 무한으로 보내어 0에 수렴시켜도, 손을 쓰는 회수는 유한 번이므로
이 방법이 성립한다는 생각입니다.---이부분은 오히려 오해가 됩수 있는 것 같습니다. 위에 3등분가능론을 이해해 주십시요.
자꾸 덧붙이니, 오히려 이상한 말이 들어가는 것 같습니다.

위 글에서 탄젠트곡선의 접선의 각도가 90도가 되면, 각도차이가 발생하지 않는다는 얘기도 됩니다.

다른 말이지만 두 얘기가 동시에 성립되거나, 선후가 있을 수 있을 것입니다.
위 글의 취지가 탄젠트의 분모가 3^n으로 분할 되므로 일반탄젠트 곡선에 비하여 급격히 탄젠트 접선각이 빨리 90도가 된다는 의미입니다.
위의 탄젠트곡선을 그려 보아야 이해가 갈듯합니다.

김형렬님/ '제가 위에 쓴글 3등분불가론의 견해는 .....'에 쓴 글과 비교해 주세요. 자꾸 덧붙여 쓰면 반복이 될 뿐입니다.
서영석님도 같은 틀에서 계속 반복하고 계십니다.

무한의 문제는 예전에 백북스 정기모임에서 신현용 교수님이 번역하신
'무한의 신비'라는 책을 다룬 적이 있습니다.
거기에 윤보미 님의 후기와 제가 쓴 후기가 있으니, 참고하세요.
계산 수학과 무한의 수학은 서로 이해될 수 없는 것이 있다는 내용이 있습니다.
어저면 그 벽이 우리들 사이에 있는 것인지도 모르겠다는 생각이 듭니다.

.

제가 각을 3등분하는 법을 올린 후,
많은 댓글로 관심과 가르침을 주셨습니다.
그 덕분으로 나름대로 이 아이디어에 정리된 생각을 하게 되어 이것을 결론으로 쓰고 싶습니다.

1. 각을 3등분하는 법은 제 앞의 글 각을 3등분하는 법과 같이, 반지름의 간격이 같은 4개의 호를 연이어 그리고, 두 번째 호를 2등분, 4 번째호를 4등분하고, 2 번째호의 2 등분점과 4 번째호를 4 등분한 1번 째 등분점과 3 번 째 등분 점을 각각이어서, 3번째호와 만나는 점으로 주어진 각도의 3등분 점을 얻는다.

2. 각이 극히 작은 경우에는 3 등분점을 얻을 수 있으나, 각이 커질수록, 4번 호와 2번호의 곡률차이로 미세한 오차가 발생하여 누적된다.

3. 이것을 보정하기 위해서 큰 각을 n의 횟수로 각을 4^n 등분으로 나누어, 4등분마다이 방법을 적용하면, 반지름이 nd3(3번째 호의 커짐)로 커짐에 따라서, 각의 오차는 pi(d4-d2)/(3^n*4)의 비율로 급격히 감소하므로 논리적으로 n이 유한한 횟수의 등분의 시행으로 각도의 오차가 없는 3등분을 얻을 수 있다.
5. 보통의 경우에 90도 각을 16등분하는 것으로 감각적으로 알 수 없을 정도의 정밀도(1/100 이하)를 얻을 수 있다.

4. 비판적인 의견으로는 3등분된 각이 무한소의 오차가 남는다고 하더라도, 3등분이라고 할 수 없는 것이라는 의견이 많았다.

5. 무한소의 각도 오차가 있다고 하더라도, 3등분을 인정해야 하는 이유.

앞의 글 '선분을 3등분하는 법'에서 보인 바와 같이, 선분을 삼등분하면 1회의 시행으로 3등분을 얻는데, 이렇게 3등분을 얻는다고 하더라도 등분한 각이 xx.3333333...... 와 같은 무한소수 각과 나머지 0.000000000.........1이 발생한다.(아래의 지적에 의해 수정) 이것을 삼등분이 아니라고 부인하면, 수학의 정수론에서 정수 중에 1 이외에 홀수가 없고, 3이 무리수라고 말하는 것과 같다. 따라서 무한소의 차이에도 불구하고, 선분의 3의 등분을 수학의 정수론적 요청으로 인정해야 한다.-----논란의 여지 있음.

각의 3등분도 엄밀히 따지면, 무한소가 발생한다고 하더라도, 수리적 논리상 유한 번의 각의 등분의 시행으로 무한소를 제외하고, 오차없는 3등분이 가능하다면, 선분의 3등분의 경우와 같이 각도의 3등분도 인정해야 한다.

위와 같은 결론으로 일단 제가 이번에 올린 글에 대한 제 결론으로 삼고, 추후에 제가 이 결론에 대하여 오류를 발견하면, 저 스스로 제 잘못을 참회하겠습니다.

그래도 아쉬운 것은
불가론을 지지하는 분들은 아주 작은 값의 차이가 해소되지 않는다는 점에만 집중하고 있고,
나는 각도 차이가 아주 작아져서 두 각이 평행에 가까워 지면. 아주 겹치지 않아도, 각의 분할을 무한 번까지 시행하지 않아도 두 선이 d3 떨어진 중심을 둔 매우 긴 직사각형의 대각선의 중심의 위치(중간값)가 어긋나는 것이 해소되는 것이 (유한한 횟수내에) 가능하다는 것을 염두에 두고 있는데......
합의할 수 없다는 것입니다.
...

김형렬 님이 말씀하신대로 발표할 가치가 있다면,
어느 분이 도와 주셔야 할 것 같습니다.
수학기초론을 자주 언급한 수학기초가 매우 불량한 학생이고,
법이 매우 낯설은 법학도일 뿐이니까요.

위 글을 다시 보니까, 김형렬 님이 옳은 코칭을 하고 계신데,
1살짜리 걸음마처럼 제멋대로 헛발질을 해 대고 있었네요. ^ ^

개인적으로 이기두 선생님을 존경하고 매우 좋아합니다.
항상 아이디어가 넘치셔서 젊은 두뇌들을 노후하게 보이게 할 정도입니다.

별개로, 3등분 작도에 대해서는,

1. 제시하신 방법으로 각이 3등분 작도되지 않는다. 너무도 쉽게, 엄연히 밝혀진 사실입니다.

2. 그럼에도 '이건 되는거나 마찬가지'라고 우기신다.

3. 반론을 이해하지 못하고(또는 않고) 계시다.

안되는 것은, 아 안되는 구나 하고 인정하고, 다른 방법을 더 연구해보자며 넘어갈 문제이지,
이미 안되는 것에 이런 저런 사족을 달고 굳이 의미를 부여하시는 것은,
수학적으로 매우 '아름답지 못한' 일인 것 같습니다.

김형렬님/ 격려로 힘을 주셔서 고맙습니다.
토론중에는 적진에 떨어진 특전용사같이 오직 앞으로 전진뿐이라 ^ ^ 고마움도 표시하지 못했습니다.
그런데, 서영석님과 김제원님은 이 아이디어가 이미 있는 아이디어이고, 평가가 끝나가는 아니디어로 말씀하고 있는 것 같습니다.
새로운 것이 아니라면 정말 긴 토론이 오직 거대한 헛발질일 뿐일텐데요.^ ^

김제원님/ 이미 있는 아니디어라면, 이미 공개된 아이디어에 대한 정보를 공개해 주는 것이 저와 다른 회원들을 위해서도 좋을 것 같습니다.

...

김형렬님/ 저는 전문가가 아닙니다... 상대론 복습 모임을 이끌고 있는 한의사입니다.

이기두 선생님/ 저는 이 아이디어가 이미 있는지 여부는 모릅니다. 다만, 제시하신 방법을 따라가 봤는데, 논란이 된 그 중간값이라는게 어떤 값인지 알 길이 없고 또한 실제로도 각이 3등분 되지 않아서 '실패'라고 판단한 것입니다.
(과정과 결과 모두 각 3등분에 실패.)

실패라 해서 딱히 나쁠건 없잖습니까. 비일비재한 것이고 이렇게 자꾸 시도하다보면 성공할 날도 오는 거니까요.

다만, 실패를 받아들이지 않으시는게 저로선 납득이 되지 않아서, 좀 직설적인 댓글을 달게 되었습니다. 마음 상하셨다면 개인적으로 죄송하다고 말씀드리고 싶습니다.

하지만, 옳으냐 틀렸냐는 두리뭉술 넘어갈 사안은 아니구요. 특히, 수학아카데미 모임 자존심 상으로도 대강 넘어갈 수는 없는 것이구요.

딱 부러지고, 또한 수학적으로도 아름답게, 가부를 결정하고 마무리하는게 좋겠지요.

p.s. 제시하신 방법이 다른 용도로 의미가 있다 하더라도, 여전히 이 방법은 각을 3등분 하지 못하는 방법입니다. 본래 용도와 다른 좋은 쓰임새가 있더라도 여전히 본래 문제에 대한 해답은 아니므로, 이 둘을 섞어서 평가하지 않았으면 합니다.

예, 두분 말씀의 취지를 설명을 듣고 잘 알았습니다.
글로 쓰여지다 보니 상대의 표정을 읽을 수 없어서, 글의 뉘앙스가 잘못 받아들여지는 경우가 있습니다. 한쪽 방향으로 몰입되어 있는 경우가 더욱 그럴 것입니다.

수학모임의 쉬는시간이나 뒷풀이에 수학전공하는 고수님의 얘기를 들으면, 많은 도움이 될 것 같습니다.
글로는 며칠 걸리는 것이 대면으로 대화할 경우는 단 몇 분에 해결되는 경우도 많으니까요.

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