각을 3등분하는 법을 위의 그림으로 설명합니다.
그림에서 주어진 각이 각A0B입니다.
그림에서 원호는 컴퍼스로 그리는 것으로 합니다.
선은 눈금 없는 자를 대고 그리는 것으로 합니다.
이 각을 컴퍼스를 이용하여 2등분하는 것은 알려져 있는 방법으로 얻은 것이 직선 0C입니다.
직선 0C가 각A0B를 2등분하여 얻은 각이 각A0C와 각C0B 입니다.
각A0C와 각C0B를 다시 알려진 방법에 의하여 2등분한 것이 직선0D와 직선0E입니다.
임의의 반지름으로 점0을 중심으로 컴퍼스를 이용해서 각A0B위에 호1을 그림과 같이 그립니다.
호1과 같은 간격으로 반지름을 키워서 호2를 그리고, 호2보다 호1의 반지름만큼 더 키워서 호3을 그리고, 다시 호3의 반지름 보다 호1의 반지름만큼 키워서 호4를 각각 점0를 중심으로 그립니다.
2등분과 4등분의 중간값을 얻기위해서,
호2와 직선0C가 만난 점e에서 호4와 직선0E가 만난 점g와 연결합니다.
이때 호3과 직선eg가 만난 점b를 얻습니다.
다시 호2와 직선0C가 만난 점e에서 호4와 직선0D가 만난 점f와 연결합니다. 이때 호3와 점ef를 이은 직선이 만난 점c를 얻습니다.
여기서 점b, 점c는 2등분과 4등분의 중간값으로 호 3을 3등분하는 점입니다.
점0와 점b를 이은 직선0F를 긋습니다.
점0와 점c를 이은 직선0G를 긋습니다.
이렇게 얻은 직선0F와 직선0G에 의해서 각A0B가 3등분 됩니다.
즉 호3 위에서점a, b, c, d는 각A0B 사이에서 호3을 3 등분합니다.
다시 설명하면, 각A0B를 각a0b와 각b0c, 각c0d가 각각 3등분하는 것입니다.
이것을 수리적으로 설명하자면,
주지하는 바와 같이 원주의 길이는 πD입니다.
만약 원주를 4등분한다면,
원주길이 L은
L=πD=4πD1/4 입니다.
이것이 의미하는 것은 원주를 등분하는 수 4와 반지름의 배수 4가 일치하면, 반지름이 4배인 원의 원주길이를 4로 등분한 호의 길이가 원래 원의 원주길이 πD1와 같게 됩니다.
일반화하면,
L= πD=nπD1/n
입니다.
이것을 다시 해석하면
같은 간격으로 반지름을 키우며, 하나의 원점을 중심으로 반지를 d1, d2(=2d1), d3(=3d1), d4(=4d1) ...dn으로 원을 반복해서 그리고, 반지름을 키운 배수로 각의 원의 원주를 나누면, 호의 길이가 같고, 배수와 같은 수의 원호를 얻는다는 뜻이 됩니다.
이것은 각을 등분하는 경우에도 같이 적용되어,
반지름을 같은 길이만큼 키우며 원점을 중심으로 호를 그림처럼 반복해 그리면, 그림과 같이 같은 간격으로 키워간 원호 1, 2, 3, 4...n은 반지름 크기의 배수와 같은 개수로 주어진 각을 1, 2, 3, 4, ....n 등분한 원호를 얻게 됩니다.
그래서 위의 그림에서 점e와 점g를 이어서 얻어진 점b와 점e와 점f를 이어서 얻어진 점c에 의해서 각A0B를 3등분하게 됩니다.
같은 요령을 확장하면,
임의의 각을 n등분하는 것이 가능하고, 무한히 확장하면 무한히 등분되는 것이 가능하다는 것이 됩니다.
****제가 각을 3등분하는 법을 올린 후,
많은 댓글로 관심과 가르침을 주셨습니다.
그 덕분으로 나름대로 이 아이디어에 정리된 생각을 하게 되어 이것을 결론으로 쓰고 싶습니다.
1. 각을 3등분하는 법은 제 앞의 글 각을 3등분하는 법과 같이, 반지름의 간격이 같은 4개의 호를 연이어 그리고, 두 번째 호를 2등분, 4 번째호를 4등분하고, 2 번째호의 2 등분점과 4 번째호를 4 등분한 1번 째 등분점과 3 번 째 등분 점을 각각이어서, 3번째호와 만나는 점으로 주어진 각도의 3등분 점을 얻는다.
2. 각이 극히 작은 경우에는 3 등분점을 얻을 수 있으나, 각이 커질수록, 4번 호와 2번호의 곡률차이로 미세한 오차가 발생하여 누적된다.
3. 이것을 보정하기 위해서 큰 각을 n의 횟수로 각을 4^n 등분으로 나누어, 4등분마다이 방법을 적용하면, 반지름이 nd3(3번째 호의 커짐)로 커짐에 따라서, 각의 오차는 pi(d4-d2)/(3^n*4)의 비율로 급격히 감소하므로 논리적으로 n이 유한한 횟수의 등분의 시행으로 각도의 오차가 없는 3등분을 얻을 수 있다.
5. 보통의 경우에 90도 각을 16등분하는 것으로 감각적으로 알 수 없을 정도의 정밀도(1/100 이하)를 얻을 수 있다.
4. 비판적인 의견으로는 3등분된 각이 무한소의 오차가 남는다고 하더라도, 3등분이라고 할 수 없는 것이라는 의견이 많았다.
5. 무한소의 각도 오차가 있다고 하더라도, 3등분을 인정해야 하는 이유.
앞의 글 '선분을 3등분하는 법'에서 보인 바와 같이, 선분을 삼등분하면 1회의 시행으로 3등분을 얻는데, 이렇게 3등분을 얻는다고 하더라도 등분한 각이 xx.3333333........ 와 같은 무한소수가 와 나머지 1이 발생한다. 이것을 삼등분이 아니라고 부인하면, 수학의 정수론에서 정수 중에 1 이외에 홀수가 없고, 3이 무리수라고 말하는 것과 같다. 따라서 선분의 3의 등분을 수학의 정수론적 요청으로 인정해야 한다.-----논란의 여지 있음.
각의 3등분도 엄밀히 따지면, 무한소가 발생한다고 하더라도, 수리적 논리상 유한 번의 각의 등분의 시행으로 무한소를 제외하고, 오차없는 3등분이 가능하다면, 선분의 3등분의 경우와 같이 각도의 3등분도 인정해야 한다.
그래도 아쉬운 것은
불가론을 지지하는 분들은 각도의 분할의 아주 작은 값의 차이가 해소되지 않는다는 점에만 집중하고 있고,
수직선 상의 분할과 각도의 분할이 다른 점을 인정하지 않는다는 점과
등분의 횟수보다 등분의 수가 기하급수적으로 증가하는 점과,
나는 각도 차이가 아주 작아져서 두 각이 평행에 가까워 지면. 아주 겹치지 않아도, 각의 분할을 무한 번까지 시행하지 않아도 두 선이 d3 떨어진 중심을 둔 매우 긴 직사각형의 대각선의 중심의 위치(중간값)가 어긋나는 것이 해소되는 것이 (유한한 횟수내에) 가능하다는 것을 염두에 두고 있는데......
.
합의할 수 없다는 것입니다.
엑셀로 계산한 결과 28번 시행부터, 변함없이 3등분을 정확히 유지하는 것을 확인함.
제가 엑셀로 계산한 결과
26번 시행부터
오차없는 3등분이 되는 것으로 확인되는 것 같습니다..
28 번 (1,688,849,860.263,940등분)시행 이후에는 계산값의 변화가 계속되기는 하여도 3등분을 유지합니다. 위에 제가 쓴 탄젠트값 효과일 것으로 생각됩니다.
28번 시행으로 완전한 3등분이 됨을 확인한 것으로 보이니, 회원님등이 확인바랍니다.
계산값이 이상해서 잘 검토해 봐야할 것 같습니다.
계산할 때 마다 다른 값이 나오네요.
계산해 놓고, 보니 엄청나네요,
한국은행 금고 비밀번호 같기도 하고....^ ^
-----------------------------------------------------------------------1번줄의 60도 각을 제외하고, 26번째 줄까지와 28번 번 줄까지 각각 토탈한 결과임.(빨간색은 앞줄까지 더한 값)
그림으로 그려도 정확한 각도가 나옵니다.
60.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
15.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
3.7500000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
0.9375000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
0.2343750000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
0.0585937500000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
0.0146484375000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
0.0036621093750000000000000000000000000000000000000000000000000000000
0.0009155273437500000000000000000000000000000000000000000000000000000
0.0002288818359375000000000000000000000000000000000000000000000000000
0.0000572204589843750000000000000000000000000000000000000000000000000
0.0000143051147460937000000000000000000000000000000000000000000000000
0.0000035762786865234400000000000000000000000000000000000000000000000
0.0000008940696716308590000000000000000000000000000000000000000000000
0.0000002235174179077150000000000000000000000000000000000000000000000
0.0000000558793544769287000000000000000000000000000000000000000000000
0.0000000139698386192322000000000000000000000000000000000000000000000
0.0000000034924596548080400000000000000000000000000000000000000000000
0.0000000008731149137020110000000000000000000000000000000000000000000
0.0000000002182787284255030000000000000000000000000000000000000000000
0.0000000000545696821063757000000000000000000000000000000000000000000
0.0000000000136424205265939000000000000000000000000000000000000000000
0.0000000000034106051316484800000000000000000000000000000000000000000
0.0000000000008526512829121200000000000000000000000000000000000000000
0.0000000000002131628207280300000000000000000000000000000000000000000
19.9999999999999000000000000000000000000000000000000000000000000000000
0.0000000000000532907051820075000000000000000000000000000000000000000
0.0000000000000133226762955019000000000000000000000000000000000000000
0.0000000000000033306690738754700000000000000000000000000000000000000
20.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
0.0000000000000008326672684688670000000000000000000000000000000000000
0.0000000000000002081668171172170000000000000000000000000000000000000
0.0000000000000000520417042793042000000000000000000000000000000000000
20.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
0.0000000000000000130104260698261000000000000000000000000000000000000
0.0000000000000000032526065174565100000000000000000000000000000000000
위와 같은 결론으로 일단 제가 이번에 올린 글에 대한 제 결론으로 삼고, 추후에 제가 이 결론에 대하여 오류를 발견하면, 저 스스로 제 잘못을 참회하겠습니다.
이 그림이면,
각을 3등분하는 법이 유한번 작도로 가능함을 직관적으로 이해가 될 것 같습니다.
제글 '각을 3등분하는 법'에서
처음 시행한 4등분점과 2등분점을 잇는 중간값구하기 선은 3등분점에서 약간 부족하게 됩니다.
제글 '제논의...'에서
4등분을 연속으로 시행하면,
S = ¼ + ¼2 +¼3 +¼4 + ¼5 +¼6 +¼7 ...........+ ¼n 에 의해서,
1/3의 선으로 4등분선이 수렴해 가는 것을 매스매티카의 계산으로 보았습니다.
그런데 4등분이 수렴해가는 3등분점에서 2등분점에 이은 중간값구하기선은
이 그림에서 3등분점을 지나친 것을 볼 수 있습니다.
따라서 중간값구하기선은 4등분을 유한번하는 것으로 1/3에 도달하는 것을 알 수 있습니다.
이로서 수학의 난제 중의 하나인 각의3등분을 저의 작도로 유한번 시행에 의하여, 작도할 수 있음을 보인 것이 됩니다.
....
