저는 "수가 무엇인가" 같은 물음에는 관심이 없습니다.
"수가 무엇인가?" 하고 질문을 한다면, 그 물음에는 지금의 수에 대한 질문일 것입니다. 그런데, 지금의 수는 서양에서 유클리드의 차원론을 중심으로 발전되어 왔습니다. 앞의 제 글에서 제시했듯이 유클리드의 차원론이 잘못이 있다고 생각한다면, 이제는 수가 달라져야 한다고 생각할 수 있을 것입니다. 저는 지금부터는 앞으로 있어야할 수에 대해서 생각해야 한다면, "수는 어떤 것이어야 하는가?"라는 의문을 생각하여야 한다고 생각합니다.
그렇다고 하더라도, 새로운 수가 필요한 이유를 설명하기 위해서는 지금까지의 수에 대해서 약간 얘기할 필요가 있을 것 같습니다.
수를 우리가 보는 세계라고 본다면, 우리가 물리를 보는 눈, 즉 차원론이 달라지면 거기에 맞추어 수도 달라져 왔습니다.
수가 어떻게 생겨났을까?
저는 수가 있기 전에 차원론이 있었다고 생각합니다. 최초의 차원론은 이런 것일 거라고 생각합니다.
무엇이 있다, 없다,
여기에 무엇이 있다, 없다,
거기에 무엇이 있다, 없다,
저기에 무엇이 있다, 없다.
어디에 무엇이 있다, 없다.
저 것은 멀다 가깝다.
거기는 높다 낮다
이것이 차원론일까?
우리가 보는 것을 나타내는 방식이 차원론이라고 생각하기 때문입니다.
수는 이렇게 발생한 차원론위에 '무엇이 더 있다.' 그리고 '무엇이 더 많이 있다.'와 같은 인식의 위에 확장되어 생겼을 것을 생각할 수 있습니다.
지금의 수를 그림으로 나타내서, 아래 그림들로 지금의 수의 구조로 설명해 봅니다.
위의 그림에 촛불이 하나 있습니다.
그리고 거울이 하나 있습니다.
그러면 촛불의 허상하나가 생깁니다.
우리의 머리속에 무엇이 있다는 생각이 생긴 것과 같을 것입니다. 
이 거울이 우리의 인식이라고 보면, 우리의 인식에는 '촛불이 있다'는 생각만 있을 것입니다.
그런데 거울을 촛불의 좌우에 하나씩 두 개를 놓으면, 어떻게 되겠습니까?
위 그림처럼 허상이 좌우에 하나씩만 생긴다고 생각하는 사람은 없을 것입니다.
하나의 거울을 더 놓으면, 아래 그림처럼, 죽 늘어선 촛불과 거울의 허상을 보게 됩니다.
그림으로는 어떤 촛불이 실제 촛불이고, 어떤 촛불이 허상인지 구별이 안 됩니다.
촛불을 1이라고 놓고, 거울을 0이라고 놓으면, 아래 그림처럼 됩니다.
......10101010101010101010101001010101010010101010101010.....
이중에 어떤 1이 실제 뜨거운 촛불인지 구별이 안 됩니다.
그냥 아무 1이나 골라서 이것을 0이라고 정하고, 0을 중심으로 오른 쪽으로 순서대로 하나의 1에 대응해서, 1, 2, 3, 4, 5, ......라는 부호를 붙일 수 있을 것입니다. 어떤 촛불을 0 이라고 하고, 오른쪽으로 1, 2, 3, 4, ...... 로 이름을 붙이고, 반대쪽은 -1, -2, -3, -4 ......로 이름을 붙입니다. 이렇게해서 정수가 탄생했습니다.
........-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ..............
위 그림을 무한히 축소합니다.
그러면, 거울도, 촛불도 보이지 않고, 아래 그림처럼, 하나의 선으로 보입니다.
이 직선을 수직선(數直線)이라고 이름을 붙입니다.
지금의 수론은 수를 이런 패턴으로 본다고 생각합니다.
이 수직선을 자세히 보면, 0과 1이 무한히 연속된 것으로 보일 수도 있습니다. 
우리가 정수라고 부르는 것은 이런 패턴이라고 생각합니다. 유클리드는 이것을 1차원이라고 했습니다. 휘어져 있어도 1차원이랍니다. 그리고 촛불 하나는 0 차원입니다. 그러니까 촛불 안으로 들어갈 수 없고, 부분이 없답니다.
이 허상을 좌우로 쭉 이동하면, 2차원, 그 2차원을 상하로 이동하면 3차원이 됩니다.
유클리드 차원론에 의해서 좌표계를 만들면 이런 모습입니다.
이 수직선을 기반으로 이 수직선을 서로 직교하게 배열을 하면, 아래 그림처럼 데카르트 좌표계를 얻게 됩니다. 데카르트 좌표계로 보면 아래 그림 같은 모습으로 이렇게 보입니다.
여기에 x, y, z라는 임의적인 축 이름이 붙어 있습니다.
데카르트좌표계에서 문제는 임의적이라는 것입니다. 계산수학에서 필요해서 그렇게 그렸을 뿐이지 그렇게 그린 것에 대해서 수리적으로 설명할 수론적인 것은 없습니다. 왜 x축이고, 왜 y축이고, 왜 z축인지를 설명할 수 없고, x축과 y축, z축이 왜 직각이어야 하는지 수리적으로 설명할 수는 없습니다. 계산 수학적으로 필요하고, 좋기 때문이라는 것뿐입니다.
다음은 가우스가 허수를 도입한 좌표계를 보면, 다음 그림으로 표시됩니다.
이 그림에는 하나의 실수축만 인정하고, i축과 j축은 허수축입니다.
앞에 그림의 수직선은 실체를 반영한 것이지만, 수직선을 이동해서 생긴 공간은 실체를 반영한 것이 아니라는 생각이라고 볼 수 있을 것입니다.
-1의 제곱근인 i를 '허수'로 정의하였고, 허수와 실수를 엮어서 복소수를 만들었습니다.
그런데 이 복소수는 2차원까지만 나타낼 수 있고, 3차원 복소수는 없다고 합니다. 저는 세계가 3차원이라면, 복소수도 3차원을 나타내야 한다고 생각합니다. 임의적으로 3차원으로 표시하는 것이 아니고, 수리적으로 설명할 수 있어야 할 것입니다.
제곱해서 -1이 되는 실체는 없다는 점에서 i에 허수라는 명칭이 붙였을 것입니다. 그러데 수학자나 물리학자나 i를 허수라고 이름 붙인 것을 못마땅해 하는 것을 자주 봅니다.
실체가 아닌 i를 사용하는 수식은 도대체 무엇인가?
연금술인가?
물리적으로 i는 무엇인가?
결국 이 가우스의 좌표계의 문제점은 무엇일까요.
허수 에 대한 물리적인 의미를 정확하게 정의하지 못한다면, 데카르트 좌표계에서 본 것처럼 수리적인 의미가 없는 임의적일 뿐이라고 할 수 있을 것입니다.
가우스좌표계는 실수축과 허수 공간으로 되어 있느데, 이 좌표계를 보면, 실수축은 우리가 물리적으로 인식하는 우리 자신이 속한 공간이고, 실수축 밖은 허수공간입니다.
여기서 아래의 그림으로 가우스 좌표계를 약간 비유적으로 얘기해 보겠습니다.
가우스 좌표계를 관찰하는데, 수직선을 현미경으로 배율을 높여서 보는 것처럼, 자세히 본다고 생각합시다. 이렇게 보면 수직선인 일차원 축 속에 일차원 동물인 예쁜꼬마선충 같은 것이 보이는 것이 연상됩니다.
상상으로 좀 더 크게 확대해서 더 자세히 봅시다.
맙소사, 이럴 수가!
우리들이네요.
예쁜꼬마선충처럼 보이는 존재들은 우리 자신을 포함하고, 또 이 꼬마선충인 군중들 속에는 위대한 수학자와 물리학자들도 보입니다.
가우스도 보이고, 아인슈타인도, 페르미도, 파인만도 예쁜꼬마선충처럼 일차원동물이 되어 있습니다. 그렇게 상상해 봅시다.
저 그림속의 예쁜꼬마선충 같은 존재가 우리 자신이라고 생각하면 어떤 기분이 듭니까?
저 꼬마선충 중에 하나는 당신, 자신입니다 !
이쯤 되면, 지금까지의 수론이 문제가 있다는 것을 절실히 느끼실 것으로 생각합니다.
수가 자연을 해석하는 도구라고 생각한다면, 우리가 보는 자연의 모습를 표현할 수 있는 수론이 필요할 것입니다.
우리가 세계를 3차원으로 본다면 수론도 우리가 보는 세계를 3차원으로 해석하는 수론이어야 할 것입니다. 양자역학 이후의 물리학은 유클리드 차원론으로는 해결이 안 되는 세계까지 와 있는 것 같습니다.
리처드 파인만 같은 물리학자는 누군가가 양자역학을 이해했다고 한다면, 양자역학을 이해 한 것이 아니라고 합니다. 이렇게 물리학이 난해한 것이 된 것은 물리의 해석에 바탕이 되는 차원론과 수론이 현대물리학을 뒷받침하지 못하는 것이 하나의 원인일 수도 있다고 생각합니다.
수학아카데미에서 1년 동안 물리공간을 해석하는 도구인 텐서를 공부했지만, 우리는 아직도 텐서가 무엇인지 감도 못 잡고 있는 것을 봅니다. 물론 이것은 수학아카데미의 문제가 아니고, 현대물리학의 문제인 것입니다. 변명하려는 것이 아니라.
저는 각의 3등분이라는 난제을 해결했다고 생각하고 있으며, 이렇게 현재의 수론의 문제점을 제시하고 있습니다.
저는 앞의 글에서 수학의 난제를 해결하면, 수론이 변경되어야 한다고 주장했습니다. 수학의 난제가 해결될 때마다 새로운 수론이 제시되어 왔으니, 당연한 얘기입니다.
따라서 저 자신이 이런 문제점을 해결하는 수론을 제시해야 한다고 생각합니다.
현대물리학이 쉽게 표현될 수 있는 수론을 제시해야 한다고 생각합니다.
이것은 좋든 싫든, 저 자신이 저지는 일에 대해 제 스스로 감당해야할 몫입니다.
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