3등분이 가능하다면, 당연히 n등분도 가능하여야 한다는 생각에 n등분을 여러 차례 시도하고, 지우기를 반복했습니다.
마침내 위 그림처럼 3등분에 사용한 방법과 같이, n등분이 가능함을 알았습니다.
n 등분은 이미 증명된 2등분의 배수나 3등분의 배수는 당연히 등분이 될 것이고, 3등분 이상의 소수에 대한 등분의 가능성을 검토하는 것이 필요할 것입니다.
위 그림처럼 5등분을 검토하여 가능함을 확인 하였고, 아래와 같이 7등분과 13등분에 대하여 같은 방법을 시행하여 성립함을 확인하였습니다.
위의 그림은 주어진 각도(L0-0-L7)이 28도(4도*7=28도)의 각일 때, 28도 각을 5등분하는 방법을 보인 것입니다.
주어진 각을 반지름*내각을 6*7로 등분을 시행한 다음에, 첫 번째 각의 선분(L1)의 5번째(r5) 등분점(P2)에 원호(r1)의 반지름을 그리고, 네 번째 각의 선분(L4)에 5번째 원호의 반지름(r5)을 그려서 만나는 점(P3)에서 원호의 중심인 원점 0에 연결하여 L8을 얻은 것입니다.
L8은 28도를 5등분하는지 확인하기 위하여 얻은 선분입니다.
이 그림에 대하여 앞에 3등분을 증명한 방식을 적용하여 검토하면, 청색으로 그린 원점0-P2와 P1-P3의 선분은 반지름 r5의 길이이고, 원점0-P1과 P2-P3는 R1의 반지름과 같은 길이입니다. 이로서, 청색의 선들은 평행사변형의 모양이 됩니다.
적색으로 표시된 L8에 P1과 P2에서 각각 수선을 내리고, 그 선분을 h로 표시합니다.
그러면 주어진 각을 5등분한 L3-L2각을 나누고 있는 L8직선의 상부의 각을 알파라 하고, 하부의 각을 베타라고 하면, 수식은 아래와 같이 됩니다.
α= asin(h/1r), β=asin(h/5r) 가 됩니다.
따라서,
α : β = asin(h/1r) : asin(h/5r) = 5: 1이 되어 계산상으로는 5등분을 만족합니다.(후기 ; 만족하지 못합니다. ㅜ ㅠ 아래에서 보듯 α : β = asin(h/1r) : asin(h/5r) 가 아니었습니다. )
컴퓨터에서 작도 상으로는 (정정: 컴퓨터 작도 상으로만, 오차가 없는 듯이 보입니다.) 오차가 없는 것으로 보입니다. 제 컴퓨터가 보장이 안 되지만, 슈퍼컴퓨터와 작도 상 오차가 없는 프로그램을 쓰시는 분이 재확인해 주시면 좋겠습니다.
같은 방법으로 7등분과 13등분도, 시행을 한 결과 그림 상으로 성립하는 것을 확인하였습니다. 수식을 재차 보이지 않아도 당연히 성립이 됨을 아실 것입니다.
< 각의 7등분의 예>
<각의 9등분의 예>
이로써, 제 방법이 3등분을 명확히 성립하는 것을 확인하였고, “각의 3등분이라는 난제”를 넘어서 “각도의 등분을 일반화”를 하였습니다.
이글을 읽으시는 분들이 재확인하여 제 방법이 옳지 않다면, 확인해 주십시오.
백북스 회원들 중에 수학을 전공하신 분들이 많이 있고, 학교에서 수학을 가르치시는 분들도 많이 계신 것으로 알고 있습니다.
작년부터 토론이 있었던 것인 만큼,
백북스가 지식공동체인데, 이런 문제에 대하여 더 이상 침묵하기 보다는, 이제 이 방법이 옳고 그름을 대하여 명확히 밝혀 주어야 할 것입니다.
**** 임병철 님이 가르쳐 주셔서, 맨 아래 댓글처럼 잘뭇이 있슴을 발견했습니다.
임 병철님께 감사드리고, 게시판을 어지럽혀서 죄송합니다.
회원님들께 사과드립니다.
ㅜ ㅠ