차원론을 다시 생각함-- 다차원
차원론에서 다차원의 문제는 수학에서나, 물리학에서나 중요한 관심사일 수밖에 없다고 생각합니다. 다차원의 문제가 현대물리학에 있어서도 중요한 것은 끈이론이 예상하는 다차원과 관련해서 생각할 수도 있고, 복잡계 물리학과 관련해서도, 상하차원간의 얽힘 등을 생각할 수 있을 것입니다. 현대수학에서도 연속체 가설이 중요한 난제가 되는 이유도 자연의 패턴에 가장 가깝기 때문일 것입니다.
이것을 내가 생각할 때, 자연에서 생물학에서도 개체의 발생과 의식의 발생 등에 관련된 부분에 생각할 수 있는 창발성을 설명하는 부문이라든지, 다른 면에서는 복잡계 물리학의 기본적인 모델이 될 수도 있는 가능성도 생각합니다.전에 올린 글들의 다차원관련 위에 보인 것 같은 그림은 불충분한 것 같아서, 다시 그림을 올립니다.
[그림1]
[그림2]
위 그림(그림1과 그림2)은 3차원 수의 체계도-수리공간[N1]의 모습을 보인 것입니다.
[그림3]
우측의 그림(그림3)은 원점에 조그만 구로 보인 하부차원인 3차원 수리공간[N1]이 다수 개가 (창발에 의하여) 상부차원의 공간을 형성하기 위한 배열을 보인 것인데, 원점을 중심으로 3차원 공간(N1) 2N1개가 원주인 360도로 등분하여 정렬된 수리 평면을 보이고, 같은 수량(2N1개)의 N1을 두 배의 반지름의 180도 반원형 평면의 원주상에 등분하여 배열한 것을 보이고 있습니다.
내부의 360도 원주상에 배열된 N1을 공간상에서
360도 회전하여 2N1개를 원형패턴한 모습을 보인 것이 [그림1]입니다.
180도 반원상의에 배열된 3차원 공간 [N1], 2N1개를 360도 원주상에 2N1개를 다시 원형패턴한 것이 위의 [그림2]입니다.,
여기서 N1을 2N1개의 N1을 배열하여 2N1개를 원형패턴하는 의미는 앞의 다차원에 관련된 "수는 무엇-연속체 가설의 증명'이라는 제목의 글에서 설명하고 있는데, 연속체 가설의 증명은 N2 = 2N1개라는 것을 증명하는 것이었고, 이런 패턴으로 구대칭 패턴이 연속으로 만들어 질 수 있다는 것을 보이는 것이 다차원으로 상승하는 연속체의 패턴을 보이는 것이 됩니다.
좀더 상세한 모습을 보이기 위해서 이 원형패턴상에 N1의 정보가 배치되는 모습을 보이는 것이 그림 4입니다.
[그림4]
[그림5]
위의 [그림4], 와 [그림5]는N2 구면상에 원형패턴으로 배치된 하나의 N1에 해당하는 구면상의 평면(섹터)에 3차원 공간인 N1 의 정보를 펼쳐서 배열하는 방식을 보이고 있습니다.
N1의 구면의 반쪽(아래쪽)을 4등분하여 벌려 펼치고, 사각형 평면 상으로 재배열한 평면상의 정보로 만들어 N2 구면상의 해당평면에 배열하는 방법을 보입니다.
(이 두 그림이 3차원과 다차원의 표면의 모습을 설명하는
그림이 됩니다. 외쪽 그림은 유체가 온도가 높아졌을 때 표면이 등분되어 대류하는 모습이고, 오른 쪽은 '블랙홀 전쟁'에서 블랙홀 내부의 정보가 블랙홀 내부에서 홀로그래픽하게 정렬하는 모습을 설명하는 에셔의 그림입니다. )
이렇게 하므로서 앞의 글에서 서스킨트의 "블랙홀 전쟁" 실린 그림, 에셔의 그림으로 비유되는 반드 지터 공간과 같은 패턴과 같은 패턴의 구대칭 공간이 만들어 지는 것입니다.
이 패턴은 계속 같은 방식으로 N2 이후의 차원상승에서 사용되어, N3, N4, N5, N6, N7 ..... 의 다차원으로 연속되는 구형 패턴이 만들어지는 과정을 볼 수 있게 되는 것입니다.
다차원의 상승과정에 대한 이런 수리 모델은 자연이 거듭제곱 꼴로 연속해서 차원상승하면서, 세계를 형성하는 모습이고, 이 차원 상승과정에서 상부차원과 하부차원간의 얽힘으로 주고받는 관계가 어떻게 이루어지는 지 살펴보는 이론으로 전개될 수 있는 기본 모델이 될 수 있는 것을 기대합니다.
