앞의 글에서 이어서 씁니다. 처음 보시는 분등은 앞의 글을 읽고 보셔야 합니다.

다차원 복소수를 만들기 위해서 N2의 구조를 보니, 기존의 실수라고 부르던, N0차원에 해당하는 실수에는 별로 문제가 없는 것으로 보입니다. 문제는 원주 사의 정보인 N1을 어떻게 해석하는가에 달려있습니다.

N1은 수평방향과 수직방향에 대하여 180도와 360도를 등분할하고 있습니다.

등분할을 나타내는 수는 지금까지 없습니다. 각도는 도度로 표시하든지, 라디안으로 표시하여 왔습니다. 도는 임의적인 것이라서 이미 수로는 부적합 판정을 받은 것이고, 라디안에는 파이π라는 무리수가 따라다니고 있어서 역시 불편합니다.

우리는 원주 또는 공간상의 구의 표면을 분할하는 각도를 나타내는 새로운 수가 필요합니다.

나는 역시 허수i를 써야 한다고 생각합니다. 그런데 기존의 허수라는 명칭의 허수i는 허수축에서 실수처럼 길이를 나타내는데 쓰이는 것이라서 우리가 원하는 것이 아닙니다.

나는 허수를 검토해 보니, 그동안 수학자들이 허수를 잘못 쓰고 있다는 것을 알았습니다.

루트-1 로 얻은 허수i는 y축 상의 1의 자리에 놓고, 허수축 상의 길이를 의미한다고 보아온 것입니다. 그런데 음의 x축 상의 -1은 i2 이고, 음의 y축 상의 -1은 i3입니다.

여기서 우리가 허심탄회하게 보면, 허수i는 길이를 나타내는 것이 아니라는 것을 알 것입니다. 허수i는 명백히 각도를 나타내고 있습니다. 허수의 지수의 변화는 각도를 나타냅니다. 이것을 본 사람은 모두 알 고 있지만, 그동안 이것을 각도로 쓰지 않었을 뿐입니다.

허수i는 90도에 해당합니다. 그런데 이것을 수학자들이 모른 것이 아니고, 가우스가 가우스 좌표계를 만들 때, 허수i를 길이로 표시한 이래, 이것을 변경하는 것은 곤란하였습니다. 그래서 옛 말에 눈길에 처음 가는 사람은 신중히 조심해서 행로를 잡으라고 했습니다.

우리는 위에서 허수i가 각도라는 것을 발견했습니다.

정확히 말하면, ix 같은 형식으로 표시하는 경우에만 해당이 됩니다.

이전처럼 허수i로만 표시하면, 허수축 상의 길이입니다. ^ ^

그리고 ix 의 지수 x에서 x의 유리수 부분은 1/4x 로 보는 것이 이상적입니다.

왜냐하면, 어차피 ix 가 i4가 360도를 의미하여 4진법의 형식에 해당되는 것이니까, 일관성을 유지하기 위해서 지수인 x를 4진법을 유지하는 것이 좋을 것 같습니다. 이렇게 하면 우리는 각도를 표시하는 새로운 수를 얻습니다.

이 새로운 수 ix 의 특징은 무엇일까요?

일단 수의 구조를 해석한 구대칭 차원론에 의한 복소수의 구성요소로 적합합니다. 첫째, 임의적이지 않고, 라디안처럼 수리적인 방식에 의해서 만들어지는데, 라디안처럼 π가 따라다니지 않습니다. 둘째, 등분에 의해 만들어지는 각도를 4진법 유리수 형식으로 통일성 있게 각도를 표시할 수 있습니다. 그리고 지수로 각도를 표시하니까, 자연스럽게 실수와 구별이 됩니다. 물리학에서는 기존에 eiπ 형식의 방정식과 계산 결과는 같은데, 일단 활자 하나가 줄어서 경제적이고, 복소수로서 방정식과 구별해서 각도로 위치를 표시에만 사용됩니다.

4진법 유리수로 표시하는 것은 제가 임의적으로 생각한 것이고, 물론 10진법으로 하여도 관계는 없습니다.

그래서 기존 물리학에서는 10진법으로 쓰는 것이 기존의 것을 계속 유지할 수 있다는 의견도 있을 수 있습니다.

그런 장점도 있지만, 기존의 것과 섞여서 혼란이 되지 않도록 진법을 다르게 쓰는 것이 좋을 것 같습니다. eiπ 형식은 미분하면, 허수i가 만들어지는데, 나의 생각은 기존에 eiπ 형식의 방정식과 ix를 구별하여 미분으로 허수i를 만드는 것을 일단 되지 않는 것으로 하는 좋을 것 같습니다. 각도를 미분하여 길이가 나오는 것은 불가능할 것 같습니다.

이렇게 만들어진 ix 의 이름은 각수라고, 부르고 싶습니다.

구대칭 차원론으로서, 길이와 각도로 공간정보를 표시하는 것을 구현한 다차원복소수가 되는 것입니다.

생각해보면, 차원은 길이와 각도로 표시하는 것이 이상적입니다. 왜냐하면, 각도는 길이에 대칭입니다. 길이와는 무관하게 각도가 표시됩니다. 길이는 각도와 대칭입니다. 길이는 각도와 무관하게 표시됩니다. 따라서 복소수는 길이와 각도의 조합으로 만들어지는 것이 좋은 방법인 것입니다.

기존의 2차원복소수는 길이+허수 길이로 표시되었는데, 굳이 허수를 써야할 이유가 의심스럽습니다. 물론 계산의 특수한 효과가 있기는 합니다만, 복소수의 곱셈으로 평면상 회전효과가 있는데, 나는 이것을 써본 일이 없습니다. 그래픽프로그램에서 쓰는 것 같은데, 예외적인 경우라고 할 것입니다.

수는 실수와 각수로 이루어진 복소수가 내가 지향하는 복소수의 구성입니다.

Z= Aix =Aiθ

구대칭 차원론에 의한 2차원 복소수는 위에 보인 수식의 형식으로 표시됩니다.

이것은 앞의 글에서 보인 원형 평면상의 수의 체계도를 표시하는 2차원 복소수인데, 기존의 오일러 방정식의 변형처럼 보여서 낯이 익습니다. 큰 변환이 없는 것처럼 보입니다.

위 그림에서 보는 바와 같이,  원점에서 뻗어 가는 방향의 선은 실수이고, 퍼져가는 써클은 각수입니다.
같은 각수 써클상의 실수는 같은 실수이고,  같은 실수 상의 각수는 같은 각수입니다.

이런 성격으로 인하여,  각수로 표시하는 2차원 복소수는  좌표축이 없더라도 2차원 평편상에서  하나의 실수선만 있고, 두 개의 좌표점을  알고 있던지,  두개의 실수선이 있고,  하나의 좌표점을 알고 있으면,  2차원평면상에서 좌표표시가 가능한 것입니다.

그러나 이것이 좋은 출발이 될 수도 있을 것입니다.