수는 무엇-복소수

지금 쓰는 글의 토막은 "수는 무엇이어야 하는가"인데,
앞의 글까지 칸토르의 연속체 가설을 증명하여 수의 연속체 구조를 밝혔습니다. 그리고 나는 이 구조를 '구대칭 차원론'이라고 이름 붙였습니다.

이렇게 얻은 구조가 옆의 그림으로 보는 수의 구형체계도입니다.
옆의 그림처럼, 구형 구조로 끝나는 것이 아니고, 이 구형 체계도상의 한 조각에 이 체계도 전체에 해당하는 조각수(정보수)를 갖는 상위 차원을 갖는 구조가 연속적으로 이어지는 것이 연속체입니다.
마찬가지로 아래 차원은 우리가 보는 구형 체계도의 상의 한 줄(한 꾸러미 정보)이 가지고 있는 정보에 해당하는 정보를 전체 정보로 하는 구조입니다.
앞에서 본 N0, N1은 선형구조를 가지고 있었습니다. 이 두 차원의 구조는 물리학이 예상하는 옆의 그에서 보는 끈의 차원에 가까운 구조임을 알 수 있습니다.

끈의 차원 이후의 차원은 위 그림의 수의 구형체계도처럼 구대칭의 체계입니다.
앞의 글에서 만든 구대칭차원론의 구조는 놀라울 정도로 물리학과 일치된 구조를 보입니다.

이제 이번 글의 토막의 주제인 '수는 무엇이어야 하는가'로 돌아가서 구대칭 차원론의 구조에 의한 수의 형태를 찾아보겠습니다.
원형 평면 구조의 수의 체계도를 검토한 결과, 하나의 수체계일 뿐, 자연수, 정수, 유리수의 분류는 임의적일 뿐이라는 것을 보았습니다.
그렇다면, 구형 구조의 수체계도를 검토해 보겠습니다.
평면구조에서는 최소한 두 개의 정보로 수가 표시된다고 할 수 있습니다.   소수점의 위치까지 생각하면, 세 개이지만, 이것은 생략하고 봅니다.   수의 구대칭 차원들 중에 첫 번째 차원인 N2구조일 경우에는 세 개의 정보로 표시될 것입니다.  
N2구조 이상일 경우에는 정하기 어렵습니다. 하부구조가 매우 크기 때문입니다.   우리는 최소한 N2구조까지의 수의 구조에 표시할 수 있는 수를 갖는 것을 목표로 합니다.   그 이상의 구조는 이 수의 구조를 연장해서 사용할 수 있을 것입니다.   우리는 다차원 구조에 적합한 수로서, 복소수를 생각할 수 있습니다.   그런데 지금까지의 복소수는 2차원까지만 표시할 수 있습니다.   2차원 이상은 방정식으로 일일이 구하고 있습니다.

이것은 매우 불편하고, 고단한 작업입니다.

리사 랜들의 "숨겨진 우주"에서 물리학의 계산상의 '골칫거리' 중의 하나로 '계층성의 문제'를 이야기 하는 것을 보았습니다. 계층성의 문제를 계산하는 과정을 거의 미친 짓이라고 표현하며, 계층성의 문제가 해결되면, 물리학에 대한 생각이 바뀔 것이라고 합니다.  '계층성'과 '연속체' 무언가 비슷한 뉘앙스가 느껴지지 않습니까?  
결국 차원론의 문제인 것입니다. 인문학에서나, 물리학에서나, 무한의 문제가 핵심입니다. 
물리학도 다차원이 엉킨 구조에서, 상부차원과 하부차원을 정확히 구별해서 수리적으로 처리하지 못하면, '골칫거리'를 껴안게 되는 것입니다. 그리고 다차원에 적합한 수론을 갖지 못하게 되면, 물리학은 무리無理한 고통만 계속되는 '무리학無理學'이 될 수 있습니다. ^ ^  

이런 까닭에 제가 지금 진행하고 있는 다차원을 다루는 이 토막은 매우 중요한 의미가 있을 수가 있습니다. 잘 되면 대박이고, 잘 못 되더라도 다음 기회는 또 있을 수도 있고, 나한테는 없더라도 누군가가 이어서 해 낼 것입니다. 그러니까? 밑져도 일단 본전입니다.^ ^

우리는 지금까지 2차원 복소수만 가지고 있습니다.
그나마도 실수와 허수라는 애매모호한 수로 만든 것입니다.  우리는 이것을 개선해서 다차원 구조의 차원론에 적합한 복소수를 만들어야 합니다.
지금부터 우리는 다차원복소수를 만듭니다.  먼저 다차원을 구성하는 연속체의 수리적 성격을 정확하게 보아야 합니다. 일반적으로 상상할 수 있는 무한의 성격은 무한히 커진다와 무한은 무한한 단계를 가진다는 두 가지 성격이 서로 모순되어 충돌합니다.  무한히 커지려면, 단계를 포기해야 합니다. 무한한 단계를 가지려면 무한이 크기를 포기해야합니다.
자연을 볼 때, 단계를 가지는 것이 분명하므로, 무한이 무한히 커진다는 것을 포기해야 합니다. 이것은 공간적으로나, 시간적으로 똑같이 성립합니다. 시간 또한 단계를 가져야 하므로 시간의 크기도 영원할 수 없습니다.  무한은 무한한 단계를 가질까? 아직은 어떤 제한요소도 발견한 것이 없습니다.  그래도 만약에 자원의 한계가 있다면, 무한한 단계도 한정이 있을 것으로 생각합니다. 

거품이 무한히 계속 될 것 같아도, 어떤 한계이상 연속되지 못하는 것이 자연입니다. 형식과 실제 사이에는 다른 점이 있습니다. 자연에는 자원의 한계가 있는 것입니다. 형식은 우리 머릿속에만 있는 것입니다. 그러므로 형식을 다루는 논리학과 수학은 인문학인 것입니다. 이런 형식이 생명력을 갖는 것은 자연에서 조건을 구해서 제한을 가하는 경우입니다. 
무한에 제한을 가하는 것을 거부하며,  계속 무한을 무한히 확장하려 하는 형이상학도 있습니다.
무한한 무한을 머리속에 그리며, 연속체 가설을 증명하려 하던 칸토르와 괴델의 예를 보며, 우리가 어떤 방향을 선택해야 하는지 생각해야 합니다,  따라서 우리는 다차원복소수를 만드는 것도 형식과 실제를 만족시키도록 하여야 합니다. 복소수를 허수축으로 하는 가우스 좌표계가 부적합함을 이미 보았습니다. 그래서 다른 수단을 찾으려고 합니다. 
N2구조에서 정보의 구조를 보면, 반지름에 해당하는 N0 와 좌우로 N1구조에 해당하는 정보가 나열되고, 상하로 360도에 대하여 등분할로 N1구조를 N1구조의 한줄 정보의 개수만큼 원형패턴한 것이 N2구조인 것입니다.

이 구조에 적합한 수를 만드는 것이 일차 목표입니다.
여기서 핵심은 N1구조의 정보수가 180도를 등분할 하는 성격을 가지고 있다는 것입니다. N2구조가 360도에 대하여 등분할하는 패턴이라는 것입니다.  즉 정해진 진법으로 등분할하는 수의 성질을 나타내는 것이 핵심입니다.  우리가 현재 가지고 있는 복소수의 요소인  실수와 허수에는 이런 성질이 없습니다.  2차원 복소수는 공간상의 점을 사상해서 2차원 좌표로 나타내는 것입니다. 우리가 아는 텐서는 이런 방법으로 표시할 수 없는 정보를 좌표축에 사상한 좌표로 표시한 것이 아니라, 공간상에 직접 정보를 표시하는 것은 못하더라도, 이렇게 하기 원하는 욕구를 대수적으로 표시한 방정식입니다.  
이것이 자연텐서라는 이름으로 불립니다. 
우리가 하려는 것은 텐서라는 방정식이 아니라, 수로서 텐서처럼 공간상에 정보를 직접 표시하고, 이들의 다차원의 계보가 연관관계로 나타나게 하는 수인 다차원 복소수를 만들려는 것입니다. 이 수는 텐서처럼 추상화가 아니라,  공간좌표에 의한 공간 그래프로 표시될 수 있어야 합니다.
 이미 어려운 난관을 거의 극복하고 평탄고지에 올라와 있기 때문에 우리는 쉽게 앞으로 갈 수 있습니다.