지금부터 칸토르와 괴델이 증명하려고 하다가 좌절하고,   수학계가 지금의 체계로는 증명이 어렵다는 결론을 낸 연속체 가설의 증명에 들어 갑니다.

칸토르의 연속체 가설을 증명하기 위해서 앞에 보였던, 원형으로 보인 수의 체계도를 입체로 전환하고, 숫자를 색체로 바꾸었습니다.

이렇게 하는 이유는 공간에 방향을 전환하고, 대칭 패턴으로 전환하는 것이 가능하게 하기 위해서입니다.

숫자 0과 1을 입체 그림에 청색와 적색으로 표시하였습니다.

[원형의 수의 체계도]                                                                  [그래픽처리된 수의 체계도 ]

칸토르가 증명하려는 한 것은 연속체 가설로 불리는 N1 = 2N0이라는 비율이 되는 구조입니다.

이것의 의미는 N1이 가지고 있는 정보가 N0가지고 있는 정보의 2N0배라는 것을 의미합니다.   따라서 여기서는 N0이 가지고 있는 숫자,  그림에서는 조각수에 대하여  2N0배 가 되는  N1 의 구조를 보여 주면,   연속체 가설의 증명이 되는 것입니다.

증명을 위해서 그림의 원점에 N0를 붙이고, 원점의 N0의 외곽선에 다른 N0를 덧붙여서 원점의 N0의 평면에 대하여 외곽선에 덧붙인 N0가 직교하게 하였습니다.

이렇게 한 그림이 아래 그림입니다.

[직교시켜 회전을 준비한 그림]

그 다음에 원점을 중심으로 외곽의 조각수 만큼 원형 패턴을 하였습니다.

이렇게 한 것이 아래 좌측 그림입니다.

[회전된 수의 구조]

위그림의 외곽에 붙여진 원형의 수의 체계도를  원점의 수의 체계도의 외곽선의 숫자인 조각수 만큼,  360도 각도에 대하여  원형패턴한 그림이로서,  공간상에 표시된  수의 환형 체계도입니다.

이 그림이 칸토르가 증명하고 싶어 한 연속체 가설의 증명입니다.
 최초로 만든 이것이 N1 = 2N0의 패턴인 것입니다.

우리는 이런 이형異型보다는 구형求型으로 표시되는 것을 좋아 합니다.

그래서 원형평면의 수의 체계도를 반원형으로 변환하되, 조각수가 같도록 원형의 수의 체계도의 조각들을 반으로 나누어 반원형을 만들어 원점에 붙였습니다. 이것이 아래 그림입니다.

[반원의 수의 체계도를 붙여 회전을 준비한 그림]

위 그림의 반원형의 수의 체계도를 N0 수의 체계도의 외곽선상의 조각수 만큼 원점을 중심으로 원형패턴을 하였습니다.

이렇게 한 것이 아래 그림입니다.

(그림의 컴이 문제가 있어서 원점에 붙인 원형의 수체계를 단순한(깨진) 그림으로 나타났습니다.)

[ 구형의 패턴 그림]

이로서, 칸토르가 하고 싶었던, 연속체 가설의 증명이 되는 N0가  N1으로 차원이 상승한   N1 = 2N0의 모습인

구형의 수의 체계도입니다.

수가 이와 같은 구형의 패턴일 수도 있다는 것입니다.
수학자들이 보면,  어떤 느낌입니까?






이런 패턴을 보일 수 있었던 것은 맨위에 보인 원형의 수의 체계도를 만들었기 때문입니다.

수를 평면상으로는 표현한 상태로는 이런 패턴을 상상하기도  곤란하고, 이런 패턴을을 표현하기도 어렵습니다.  수의 원형 평면 체계도로 만들므로서, 공간상에서 화전하여 원형패터을 하는 것이 가능하여 이런 구조를 만든 것입니다.  이렇게 한 의미는 아래에서 보게 됩니다.   

그런데  원형으로 수의 체계도를 만들 수 있었던 것은 작년에 각의 n등분의 일반화를 할 수 있었고, 
각의 n들분의 일반화가 유리수가 만들어 지는 패턴이 된다는 것을 인식하므로 서, 가능하게 된 것입니다.
이렇게 오는데는 각의 3등분,  각의 n등분의 일반화,  유리수 패턴의 인식, 수의 패턴을 인식,  수를 원형패턴으로 전환이라는 여러 단계의 과정이 준비된 것입니다.

이렇게 됨으로서 수는 위에 보는 바와 같이,  구형의 체계라는 것이 드러났습니다.
또한,  칸토르는    N2 ,  N3,  N4,   N5,  N6, ..........  로 차원이 상승하는 것을 예상하였습니다.

이것을 보이는 방법은  앞의 구형으로 보인 N1 수 체계도의 조각수와 같은 평면의 원형 수의 체계도를 만들어서, 그 평면의 원형 수의 체계도의 조각수와 같은 반원형 수체계도로 같은 방법으로  원형패턴을 하면, N2 의 구형 수 체계도를 만들 수 있고, 같은 방법을 계속 차원을  높여 갈 수 있을 것입니다.

반대로 차원을 낮추는 방법은 평면상의 하나의 셀에 들어가는 미소한 구형 수의 체계도를 원형 또는 구형의 수의 체계도의 하나의 조각에 대응시키면 될 것입니다.

다시 정리해서 보면,  맨 위의 원형의 수의 체계도에서 반지름 상의 0, 1의 개수(N1)에 대하여, 원주 상의 조각수가 원 평면상의 체계도에서 만들어지는 유리수의 개수(N1)와 같아서,   N1 = 2N0  의 비율의 관계이

고,  원형 평면상의 수의 체계도의 유리수 개수(N1)에 대하여  공간상의 유리수가 만들어질 수 있는 공간상의 유리수개수(N2)와의 비율도 역시    N2  = 2N1   의 비율의 관계이며,
 
같은 방법으로 확장되는   N3 ,   N4,  N5,   .......로 상승되는 차원에 대해서도 같은 규칙이 적용될 수 있으므로,   같은 비율의 관계입니다.

이로서 구대칭 차원론의 모델이 되는 칸토르의 연속체 가설이 증명되는 패턴을 보였습니다.

여기에서  물리적인 의미를 보면,  앞의 글에서 예시한 서스킨트의 책, '블랙홀 전쟁'에서 블랙홀 안의 정보를 반드 지트 공간으로 설명하는 부분에서,  블랙홀 안의 정보가 블랙홀 지평선(실제는 구면)에 모두 홀로그램적으로 나타난다는 설명이 이해하기 어려웠는데, 위의 규칙을 보면,  블랙홀 지평선은 위에서 연속체상의  N2  이상의 차원에 해당 된다고 볼 수 있고,  바로 물리학에도 연속체의  규칙이 적용될 수 있는 것을  알 수 있다.  또 물리학에서 벡터를 공부하면서 본 장(field)에서도 이런 성격이 적용되는 것을 보았습니다.

여기에서 알 수 있는 바와 같이 , 내가 보인 수의 모습은  물리학이 생각하는 공간의 패턴과도 일치하므로,
칸토르가 예상한 이 연속체의 패턴에 대하여, 
나는 구대칭 차원론이라는 이름 붙일 수 있는 것입니다.