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연속체라는 생각은 무한과 관련해서 역사가 매우 오래되어 그리스에서는 제논의 역설 등이 논란의 시초가 된 것으로 볼 수가 있는데, 피타고라스 학파에서 무리수를 발견하게 된 것과 플라톤의 제자들이 기수(POWER)라는 개념을 알게 된것 등이 역사의 시초인데, 그 이후에는 별로 발전이 없었다고 합니다.

칸토르에 의해서 연속체 가설이 제기 되면서 무한의 문제가 정리되는데, 앞에서 연구한 분들을 생략하고, 칸토르가 생각한 연속체 가설을 중심으로 생각하기로 합니다.
그런데 우선 수학에 사용하는 진법을 먼저 정하는 것이 좋을 것 같습니다. 칸토르는 10진법으로 생각했지만, 나는 2진법으로 생각합니다.
왜냐면, 우선 표시하기 간단하고, 자연은 2진법을 사용하는 것이 보편적입니다. 유전자가 조금 애매하기는 한데, 변형된 2진법이라고 생각하면 될 듯합니다.

칸토르는 실직선 상의 수를 2N0(여기서 N0은 모든 자연수의 집합)으로 나타낼 수 있다고 생각합니다.
예를 들어 {2, 3, 4}의 자연수집합이 있으면, 원소 3개의 멱집합인 23 이 만들어 지는 것을 확장한 것입니다.
그런데 여기서 N0가 칸토르는 자연수의 집합이라고 보았지만, 앞의 글에서 이것이 자연수의 집합이 되는 것에 의문이 있다는 것을 보았습니다.

칸토르는 2N0=c 라고 표시하고, 실수집합으로 봅니다.
직전의 글에서 이것이 의문이 있다는 얘기를 했습니다.

앞에서 수의 체계도를 그려서 보면, 수 체계도 상의 수는 하나의 체계이지, 실수, 유리수, 정수, 자연수 같은 구분이 불가능한 것으로 보입니다.
앞에서 본 것처럼,  칸토르가 자연수의 개수로 본 것은 단지 수의 자릿수에 불과합니다.
이것의 의미는 아래에서 보기로 하고, 우선 칸토르의 생각을 따라 갑니다.
칸토르는 C를 N^₁으로 보면,  N₀에서 N₁으로 확장이 된 것이니,  더 확장이 하여  N^_0,  N^_1,  N^_2,    N^_3,  N^_4,   .......으로 확장이 가능하다고 생각합니다.
그래서 N2=2N1 이  증명되어야 이런 확장이 가능하게 되므로, 이것을 연속체 가설이라고 합니다. 또, 이것을 일반화하여 2Nα= Nα+1 이라고 한 것이 일반연속체 가설입니다.

결론부터 말하면, 칸토르는 N2=2N1 를 증명하기 위해서 온갖 노력을 기울였으나, 성공하지 못하고, 정신병에 들어 세익스피어가 베이컨이라는 것을 증명하는 노력을 하는 이상한 행동을 하다가 죽습니다.
괴델도 이 연속체 가설을 증명하려고 하다가 마찬가지로 우울증이라는 정신병에 걸려서 라이프니츠의 연구가 다른 사람의 것일지도 모른다는 것을 증명하려고 노력한다든지 "미국헌법에 오류가 있어요." 같은 말을 하다가 역시 정신병으로 고생하다 사망합니다.
수학자들은 연속체 가설을 연구하는 과정에 많은 패러독스를 생산해 냅니다. 그중에 선택의 공리가 흥미롭기는 한데,  이해하기 어렵습니다. 바나흐-타르스크의 패러독스를 볼 때 굳이 이해하려고 할 필요는 없는 것 같습니다.
결국 수학계는 연속체 가설은 코언의 증명을 받아드려 현체계로는 증명될 수 없다는 것이 인정한다는다는 결론을 맺습니다. ^   ^
좀더 발전된 체계라면 어쩔지 모르겠다고 유보했습니다.
이것이 간략히 본 연속체에 관련된 역사입니다.
우리가 좀더 발전된 체계를 제안해서,  증명하게 되는 찰라에 다가가고 있습니다. 

그래도  연속체가설을 나에게 흥미로운 것은 연속체는 자연의 구조를 닮아있다는 점입니다.
칸토어가 가설로 주장하는  N_^0,  N_^1,  N_^2,    N_^3,  N_^4,    .......의 구조가 내가 생각하는 구대칭차원론의 구조와 같습니다.
 다른 점은 칸토르는 집합론으로 순수한 수학의 영역에서 증명하려는 것이고, 나는 차원론으로서 물리 세계와 연결되는 공간해석의 기준으로, 자연의 패턴 해석 기초로 보려는 관점의 차이가 있습니다.
칸토르는 유대교인으로서, 연구가 막히는 지점에서는 항상 이것은 신의 영역이고.... 등으로 형이상학 영역과 연결하여 생각한다.
반면 나는 철저히 형이상학적 관점을 배제하고, 자연주의자로서, 무한의 속성은 자연의 속성이라고 보고, 무한의 속성은 자연의 패턴에서 찾아야 한다고 생각합니다.

 일단 칸토르의 연속체 가설의 증명으로 들어가기 전에 개념을 정리할 필요가 있습니다.  

 칸토르의 예에서 보는 것처럼, 예상한 무한의 구조가  N_^0,  N_^1,  N_^2,    N_^3,  N_^4,   .......의 단계를 갖는 이유를 순수수학 자체에서 찾는 것은  형이상학적 순환론에 빠질 위험이 있고,  자연의 모습에서  무한의 물리적인 의미를 찾아야  한다고 생각합니다.
현대물리학도 물리세계가 다차원을 갖는다고 하지만, 수리적 한계에서 차원을 보는  까닭에  차원의 단계에 따라 물리적으로 어떻게 다른지 알지 못하는 것을 봅니다.

이 그림에서 반지름에 해당하는 것은 칸토르는 정수+유리수(N0)의 집합의 원소의 개수로 보았으나, 그림에서 보는 바와 같이,  수가 확장되는 자릿수이지 칸토르의 생각에 동의할 수 없음을 알 수 있다. 의문이 되는 분은 직전의 내 글을 다시 보시기 바랍니다.  이 그림의 반지름인 자릿수는 무한히 확장 가능하지만, 맨 안쪽 중심을 나누어 좌우로 1, 0으로 시작하고,  가장자리가 1,0,1, 0,....1, 0, 1, 0, 1,0 로 끝나는  패턴은 유지됩니다.
자릿수의 무한 확장은  수리적 형식이지 자연의 관점에서 보면, 무한한 확장이라는 것은 없습니다. 자연은 그 크기를 스스로 제한합니다.
앞에 블랙홀 전쟁이라는 책을 인용했으니, 블랙홀을 예를 들면, 블랙홀도 크기를 가지고 있습니다. 수체계도에서 반지름에 해당하는 블랙홀 지평선을 가지는데, LHC에서 만들어 진다는 초미니에서부터 거대블랙홀 까지 여러 크기의 블랙홀이 있습니다.
물리학이 블랙홀의 구조를 나타낸 무한 프랙털 패턴의 반드 지터 공간의 패턴과 내가 그린 수의 구조도가 같은 패턴이라는 것이  무한의 물리적 속성을  설명하는 가장 좋은 예로 보입니다.
블랙홀 뿐이 아니라,   생물학에서도  생명체가 발생하는 과정에서 세포 분열이 일어나는 과정도 형식적으로는  무한히 분열될 수 있는 것처럼 보이지만, 무한히 분열하지 않고, 자체적으로  한계가 있습니다.
암세포처럼 무한정으로 분열을 지향하는 경우도 모체가 제공하는 에너지의 한계 내에서 분열이 제한되는 것이 가능합니다.
이와 같이,  우리가 무한을 이해하는 첫 단계는 무한도 확장이 제한되는 요소가 있어서 제한된 크기를 갖는다는 것입니다.

수체계의 크기는 자릿수N의 크기에 비례하는데, 자릿수 N의 크기는 원주의 분열횟수에 따라 정해집니다. 그리고 몇 진법이 몇이냐에 따라 크기의 증가율이 달라집니다.
수식으로 만들면,

M ~ N*B*D/T

(M=수의 크기, N=수의 반지름, B=수의 진법 D/T= (시간당) 분열 회수)

여기서 가장 요점은 수의 반지름인 N의 성질이라고 할 수 있습니다.
나는 일단 N은 자연속에서는 가지고 있는 에너지 또는 질량 등에 의해서 결정된다고 볼 수 있다고 생각에서 출발합니다. 분열되는 회수나 주기를 결정하는 것은 공급되는 에너지또는 자원이라고 할 수 있습니다. 생물의 경우 공급받는 에너지에 의해서 자신의 크기를 스스로 제한하는 시스템이 있는 것 같습니다.
이로서  수의 체계에서 N의 의미를 일단 자원의 크기에 따라 달라진다고 가정하고 출발하는 것이 좋겠습니다.
칸토르가 예상한 연속체의 단계인  N_^0,  N_^1,  N_^2,    N_^3,  N_{^{4,  .........}} 로서,  각 단계는 자연에 대비해 보면, 자원의 성질이 다르다고 볼 수 있다. 맨 아래 단계는 순수 에너지라면,  어느 단계에서는 이름을 잘 모르는 물리적 미소 단위력이고,   어느 단계에서는 약력, 강력의 중계자이고,  또는 전자기력이고,  어느 단계에서는 수소농도이고, 어느 단계에서는 공기중의 산소의 농도라고 할 수 있습니다.
 
이렇게 자연을 관찰할 때,  무한은 수리적 형식일 뿐이고,  자연에서는 실제적으로 무한한 확장이 되는 것은 아니고,  낮은 차원에서 높은 차원까지 무한의 크기가 단계를 갖기 때문에 자연이 상하 차원으로 구성된 시스템적인 체계로 볼 수 있다는 생각입니다.
이런 이유로  칸토르가 예상한  연속체 가설이 의미가 있고, 이를 증명하여  자연을 해석하는 기준으로서의 차원론을 찾아야 한다는 구상입니다.
또, 자연에서 차원의 상하관계를 보면,  하위차원에서 상위차원으로의 상승에는 창발이라는 과정이 개입되는 경우가 많다는 특징이 있다. 창발성이 요구되는 경우를 차원상승이라고 보는 것을 일단 가정하고 들어가 보는 것도 좋을 듯하다.

이로서, 칸토르처럼 형이상학적 환상의 세계로 빠지는 위험이 없이, 연속체 가설을 증명하기 위한 밑바탕이 준비된 것으로 볼 수 있다.