칸토어의 연속체가설을 비판하면서 차원론을 찾아가는 과정이 시작됩니다.

앞의 글에 이어서 "무한의 신비"를 중심으로 수리에 관련된  무한의 내용을 파악하고, 차원론과 연결을 시도 합니다.

칸토어의 연속체가설은 칸토어가 칸토어의 대각선 논법으로 실수N1가 자연수와 유리수N0보다 더 크다는 것을 증명한 뒤에 무한(초한수)도 단계를 갖는다는 것을 주장한 것입니다.

대각선 논법은 아래의 그림에서 보는 바와 같이, 임의의 유리수를 나열해 놓고, 대각선을 긋습니다.

대각선에 걸치는 수를 다음수로 바꾸어 수를 만들면, 이 수는 대각선 안에는 없는 수이기 때문에 정수와 유리수 밖의 수가 있다는 증명이라는 것입니다.

그림에서 왼쪽의 대각선에 걸린 수로 0.14943.... 이라는 수를 만들고, 이 수를 오른쪽에 있는 대각선에 걸린 수로 대체하여 0.218432......를 만들면, 0.218432.....는 대각선 안에는 없는 수이니까, 0.218432....는 실수에 해당한다는 것입니다.

그런데 의문이 듭니다.

칸토르가 대각선 논법으로 만든 새로운 수는 0.218432....는 "왜 유리수가 아니냐"는 것입니다.

이 그림을 보면, 칸토어가 착각한 것으로 보는 이유는

수평으로 배열된 수은 자릿수이고, 수의 개수는 그림에서 수직으로 배열된 것이 수의 개수에 해당됩니다.
수평으로 배열된 수가 자연수의 개수에 해당된다고 생각했는지 의문입니다.

이렇게 위 대각선 논법에 의한 칸토르의 주장은 오류인 것 같은데, 칸토르의 증명이 오류인 것을 증명을 하겠습니다.

이것은 칸토르가 임의의 수를 나열하는 방법으로 증명을 한 것은 그가 수의 구조가 어떻게 생겼는지 몰랐기 때문인 것으로 보입니다.

그가 연속체가설에서 N1 = 2N0 라고 하는 것을 보면, 수의 구조를 알고 있었을 듯도  한데,

그는 이렇게 하고도 N1이 N0보다 얼마큼 큰지를 알지 못한다고 한 것을 보면, 수의 구조를 모른 것이 분명합니다.

내가 수의 구조를 그림으로 표시하면, 아래 그림과 같습니다.




위의 그림은 제가 보는 수의 구조를 보인 것입니다.  이렇게 배열하면,  모든 수의 배열의 형식이 됩니다.

칸토르는 임의의 수를 나열하였지만, 나는 수의 차례대로 나열했습니다.

맨 오른 쪽에서 아래로 000000....에서 맨 왼쪽에 111111..... 로 끝나는 것을 보셨습니다.

이것이 정수+유리수의 구조입니다.  실수라고 할 수도 있습니다만,  칸토르는 무리수를 포함한 것을 실수라고 하는데,  이 배열로는 무리수를 포함할 수 없기 때문에 정수+유리수라고 했습니다.
이유는  아래에서 밝힙니다.
소수점을 첫째자리에 찍는다면,  0.000000 과 1,1111111인데, 소수점은 생락했습니다.

수는 이런 순서로 배열됩니다.
무한의 신비의 이부분 설명을 보면,  "완벽한 수의 조합을 보인다해도," 라는 대목이 나오는데,  이것이 완벽한 수의 조합입니다.
수학자들은 이 간단한 목록을 보이지 못했어요.

내 그림을 보면,  전체적으로 직사각형입니다.  칸토르가 위 증명에서 대각선을 그어서  만든,   대각선의 내부에 있을 수 없는 수도 위에 보인 수의 구조인 직사각형의 내부에 있을 수 있는 것입니다. 
대각선 내부에 있는 수나,  외부에 있는 수나 차별이 있느냐는 것입니다. 
같은 구조에 있는 수이고,  이렇게 만들어지는 것이 유리수+정수입니다.  무리수는 아닙니다. 아래에 보인 이유로 실수는 아닙니다.  그러니까, 칸토르의 증명은 틀린 것입니다.  
그런데 문제는 이 그림의 수는 실수인가,  유리수인가의 문제입니다.  칸토르는 실수라고 주장하는데,  유리수와 실수를 어떻게 구분합니까?
수는 여기서 자연수, 정수,  유리수,  실수의 구분이 없습니다. 
그냥 하나의 체계일 뿐입니다.
임의적으로 소수점을 어디 자리에  찍느냐에  정수와 유리수가 갈릴 뿐입니다. 
자연수에서 실수까지의 구분은    실체적인 모습에는 그런 구분은 찾아 볼 수 없습니다.
수리적인 이유는 찾을 수 없고,  단지 계산수학에서나 다루는 임의적인 구분인 것으로 보입니다.
 
소수점을 찍는다는 것은 지극히 임의적입니다.  맨위에 찍을 수도 있고 맨 아래에 찍을 수도 있습니다. 
다시 말하면, 계산 수학의 영역이지 기초론에서는 생각할 필요가 없다는 것입니다.

그림에서 보는 것처럼, 자릿수에 비례하여 자릿수를 n으로 표시하면, 위에서 보인 그림에서 수의 개수는 2진수인 경우에   2n입니다.

즉 자릿수에 대하여 n : 2n의 비율인 것입니다.

그러니까, 칸토르의 대각선 논법은 단지 수의 자릿수와 수의 개수가 다르다는 것을 찾은 것이지, 실수의 개수가 유리수와 정수가 다르다는 것을 증명한 것은 아닙니다.

그런데 여기서 다시 의문은 칸토르의,   실수에만 있는 무리수는 어디 있느냐는 것입니다.

위에 제가 그린 수의 구조도에서는 무리수에 해당하는 것이 없습니다.

위 그림의 수의 구조에서,  무리수는 자릿수를 아무리 늘려도 맨 아랫자리의 101010......101010에서,   1과 0의 사이에 있어야 할 것입니다.   즉,  자릿수를 무한히 늘릴 수는 있지만, 어디까지 늘리더라도 무리수를 만족시킬 수는 없습니다.
칸토르가 무리수를 포함한 것을  실수라고 하는 것에  의문이  됩니다.   수학 전공하신 분의 의견을 듣고 싶습니다. 

여기서  무리수에 대해서 생각하면,
무리수는 어떤 수 사이에서 비율로 생기는데, 비율에 의해서 발생하는 무리수를 만족시키는 수는 위의 수의 구조도에는 표시될 수 없습니다.

비율이라는 것은 두 수 이상의 나눗셈에서 생기는 것입니다. 그런데 유리수는 대부분 순환소수입니다.
2의 배수가 분모가 되는 경우 이외에는 1/소수는 모두 순환소수입니다.
무리수는 순환소수/ 분자와 같지 않은 순환소수를 한 경우나 n곱근으로 나온 값도  소수/소수의 비율입니다.

그런데 무리수인 경우는  이것은 소수와 소수의 나누기의 형태라고 할 수 있어서, 하나의 소수의 형태인 유리수로 나타내기 곤란한 경우라고 할 수 있습니다.

다시 말해서, 무리수는 상위 차원의 수, 공간수인 N2~N3에서 볼 수 있거나, 오히려 무리수가 나누기로 나타나는 것이니까, N0 차원에 대하여 아래의 하부차원의 수로 나타내야 한다는 것을 예상할 수도 있을 것 같습니다. 이건 좀 더 생각할 문제지만,  이렇게 예상해 봅니다.

그런데 이 그림을 보면, 맨 윗줄은 1111111....11110000.....00000로 나열된 구조로 되고,

맨 아랫줄은 10101010101010....10101010으로 나열되어 있는 것을 보실 것입니다.

여기서 맨 위 줄에서부터 겹쳐진 1과 0을 하나로만 표시해 봅니다.

그렇게 하여  아래 그림으로 바뀝니다.

이 그림을 보면 오렌지를 껍질을 까서 벌려놓은 것 같은 모양인 것을 알 수 있습니다.

이번에는 껍질을 까서 벌려 놓은 오렌지를 다시 말아서 구형으로 만들듯이,  위 그림의 수를 원형으로 말아서  최외곽의 1, 0, 1, 0,   ........   1, 0 이 서로 만나게 그려 봅니다.

그러면, 아래 그림으로 바뀝니다.

이것이 수의 구조입니다.

이 그림을 보면 수는 본래 구대칭 구조를 가지고 있는 것으로 보입니다.

맨 안쪽은 0, 1로 원의 중심을 반으로 나누어 시작되고, 맨 바깥쪽은 1,0,1,0,1,0............,1,0,1,0 로 끝납니다.

자릿수를 아무리 늘려도 바깥쪽이 0101010101....10101010로 끝이 나는 구조입니다.

이 그림으로 보면, 자릿수를 늘린다는 것은  수가 원주를 더 많이 등분할수록  성장하는 구도로 보입니다.

이 수의 구조 옆에 "불랙홀 전쟁" (레너드 서스킨트, 이종필 옮김)의 p500에 있는 그림을 나란히 배치해 봅니다.

정확히 같은 구조의 그림인 것을 볼 수 있습니다.

에셔의 그림은 각각 천사와 악마를 셋으로 대칭 만들었습니다만. 제가 보인 수의 구조와 같은 구조라는 것을 알 수 있습니다.

이렇게 놓고 보면, 수의 구조와 물리학이 생각하는 공간의 구조가 같은 패턴입니다.

즉,  블랙홀 내부를 나타낸 물리공간-[반드 지터 공간]의 패턴과 일치 합니다.

여기서 수의 구조에서 차원론이 나올 수 있다는 생각이 생깁니다,



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