만약 1/3을 x라고 하면, 3x는 1일까요?

전에 무한에 대한 글을 쓸 때, 이 아이디어를 이미 썼었기 때문에 그때 제 글을 읽은 분은 답을 알고 있다. 그런데 다른 이야기를 하기 위해서 다시 말을 꺼내는 것입니다.
1/3은 0.3333333이니까, 3x는 0.9999999...가 되는데, 0.9999999....가 1과 같다고 하는 사람들도 있습니다.
만약 0.99999...가 1과 같다면, 각의 3등분이 성립하는데 아무 문제가 없을 텐데, 문제가 있습니다. 나머지 1이 남기 때문입니다.
이 나머지 1은 아무리 3으로 여러 번 나누어도 해결이 안 되기 때문에 순환소수가 있게 되는 것입니다.
1/3, 1/5, 1/7 .....등, 소수를 밑으로 하는 1/x의 소수형태의 분수는 순환소수가 되는 것으로 봅니다.
이들 순환소수는 수학에서 유리수에 포함되어 있습니다.

그렇다면 순환소수는 정확한 자릿값으로 point가 정해지지지 않아도 유리수로 취급되는 것에 수학계가 합의한 것으로 볼 수 있습니다. 수학계에서 각의 3등분에 대하여 조금이라도 어긋나면 3등분으로 인정하지 않는다는 입장을 유지하려 한다면, 유리수가 아니고, 순환소수는 실수에 포함시켜야 되는 것 같습니다.

수학하는 사람들이 조금(여기서 조금은 무한대분의 1 ^ ^)이라도 어긋나면, 각의 3등분으로 받아들이지 않겠다고 하는 결의는 어떤 근거에서 오는 것일까요?
이것을 그림으로 보이면, 아래 그림과 같습니다.

여기서 박스는 방의 벽면이고, 굵은 선은 계단을 나타냅니다.

작은 점선은 작은 계단을 나타냅니다.

계단은 이러 ㄴ방법으로 계속 나누어 갈 수 있습니다.

이렇게 보면, 큰 계단과 작은 계단의 차이가 분명히 보입니다.

그러나,

아래 그림에서 보는 것처럼 왼쪽에서 오른쪽으로 공간을 확장해 가면 큰 계단과 작은 계단의 점차 차별이 없어집니다.

즉 상위차원에서 인식하는 0.9999....와 하위차원에서 인식하는 0.999....사이의 구별은 어떤 차원에 종속되어 있을 때 구별이 되는 것이고, 중중무진이라는 차원론의 관점에서 보면, 차원간의 구별이 없어진다는 것입니다.

여기서 구대칭 차원론의 하나의 성격으로 상위차원과 하위차원 간에 차별이 없다는 하나의 특성이 도출됩니다.

물리학에서는 이러한 차원론 문제를 어떻게 볼가요?

브라이언 그린이 양자역학을 해설하는 동영상을 보신 분이면, 끈이론이 말하는 10차원 중에서 우리가 상상이 가능한 4차원 이외의 6차원이 1차원 속에 구겨져 들어가 있을 수 있다는 것을 설명하는 재미있는 장면을 보았을 것입니다.

도로에서 교통 신호판이 매달린 봉을 멀리서부터 점차 가까이 다가가면서 1차원 선분인 것처럼 보이던 봉이 점점 굵어지면서, 그 튜브의 표면에 개미들이 기어 다니는 장면을 보여 줍니다.

이것처럼 1차원도 확장하면 내부에 공간을 가질 수 있어서 1차원의 내부에 6차원 공간이 숨어 있을 수 있다는 것을 설명합니다.

제가 위에 제시한 그림과 매우 유사한 생각입니다.

원 더 풀!
얼마나 멋진 아이디어인가!!!!
그러나 불가능합니다.

이 아이디어는 리사 랜들의 '숨겨진 우주'(Warped passages)에 소개된 아이디어인데, 멋있기는 하지만, 불가능한 아이디어입니다. 이 아이디어는 출발점을 차원론의 변경 없이 유클리드의 차원론을 바탕으로 1차원이라는 것을 생각했기 때문입니다.

이 생각을 비판하자면, 이미 우리가 알고 있는 바와 같이, 유클리드 차원론에서 1차원은 공간이 아닙니다.

유클리드 차원론에서 1차원은 두께가 없으므로, 아무리 가깝게 다가가고 확장해 보아도 1차원은 튜브가 되지 않고,  공간이 되지도 않습니다.

대상이 튜브라고 할 때, 1차원은 튜브 표면의 접선에 해당되고, 3차원 공간인 튜브를 아무리 크게 확대하더라도 접선은 계속 접선일 뿐인 것입니다.

따라서 유클리드차원론을 변경하지 않는 한, 이런 숨겨진 여분차원이 1차원 안에 있을 수 있다는 아이디어는 불가능할 것입니다.

한편,  우리가 경험하는 4차원에 대한 상위차원인 6차원과 7차원 ...등이 1차원 속에 있을 수 있다는 아이디어는 냉정히 보면, 엽기적입니다.

이런 혼란은 물리학이 차원론의 변경 없이 임의적으로 상상하기 때문에 생기는 현상일 것입니다.

뉴턴출판사에서 발행하는 뉴턴 하이라이트를 보면, 리사 랜들의 인터뷰가 실려 있고, 여기에서 이 아이디어에 대한 생각을 말하고 있습니다.

이 아이디어가 필요한 이유는 중력의 문제점을 해결하기 위해서 라고 말하고 있습니다.

결국은 시공을 어떻게 보느냐에 따라서 물리해석이 달라질 수 있습니다.

이런 아이디어가 가능하려면, 차원론이 먼저 바뀌어야 하고 차원론과 수론, 물리학이 하나의 통일성과 체계를 갖추어 이론을 전개되어야 비로소 물리학이라고 할 것이고, 차원론 변경 없이 과학자들 각자가 임의적으로 상상하는 것은 형이상학이지 물리학은 아닐 것입니다.

현대물리학의 첨단에서 이런 현상이 많이 보입니다.

특히 관측이나 실험으로 해결이 안 되고, 물리학자들의 상상이 이론이 되는 양자중력, 끈이론, 고리중력이론 등에 관한 책을 보면, 그들의 상상은 혼란스럽고 소설처럼 보이기도 합니다.

리사 랜들의 '숨겨진 우주'와 마르틴 보요발트의 '빅뱅이전' 같은 책에는 과학자가 쓴 소설이 끼어 있습니다. ^ ^

내가 말한 차원론과 같은 표현이 생물학에서는 자주 보입니다.

에델만의 '뇌는 하늘보다 넓다'.

'세포라는 대우주'

이런 책제목에서 내가 소개한 구대칭 차원론과 같은 생각을 볼 수 있습니다.

과학이 양자론과 양자역학을 넘어서서 우주론, 복잡계물리학, 생물학, 등으로 확장해 가면서 고도화 되어 갈수록 새로운 차원론이 필요함을 생각하게 되는 것입니다.