이번 모임도 헬로 커뮤니티 넓은 방에서 진행하였습니다.

미분 적분이 핵심이라서, 2차 모임에서 한 내용에 대한 정리 멘트이지만,
2009년 당시 강의 후 강의노트 올려주시면서 함께 언급한 멘트를 다시 곱씹어 보고자 합니다.
 (메일로 보내드린 한글 파일에 다 있는 내용입니다. 매월 강의후 멘트가 있으니 수시로 참고하시길...)


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2월 강의 정리

 

우선 함수의 극한을 배웠습니다.

극한값은 기본적으로 “주변부의 값”입니다.

극한값을 계산할 때 분모가 0으로 가는가를 살피는 것이 중요합니다.

이 때 분자가 0으로 같이 가면 분자나 분모를 0으로 만드는 요소를 뽑아 내어

먼저 처리한 후 극한값을 계산합니다.

x가 아주 커지는 극한값은 말하자면 “막장값”입니다.

이때에는 각 항들 중에서 가장 빨리 증가하는 녀석만 살아 남습니다.

그래서 (무한대)/(무한대) 형태의 극한값은 분자/분모의 최고차항만 비교하면 됩니다.

 

그리고 함수의 연속성을 배웠습니다.

연속성은 한 점에서의 성질(pointwise property)입니다.

그 점에서의 함수값과 그 주변부의 값(=극한값)이 같을 때

우리는 그 점에서 함수가 연속이라고 부릅니다.

함수가 연속이면 그 점에서 함수가 끊어져 있지 않고 연결되어 있습니다.

 

미분은 평균변화율과 순간변화율을 구분하는 것부터 시작했습니다.

중간과정에 대해서는 “아무것도 묻지도 따지지도 않고”

처음상태와 나중상태만 비교해서 변화량을 비교한 값이 평균변화율입니다.

함수에서의 평균변화율은 두 점을 잇는 직선의 기울기에 해당합니다.

반면 순간변화율(instantaneous rate of change)은 처음상태에서 나중상태로 변하는

매 순간마다의 변화정도를 나타냅니다.

함수에서의 순간변화율은 주어진 점에서의 접선의 기울기에 해당합니다.

접선의 기울기는 두 점이 하나로 겹쳐지는 극한에서의

두 점을 잇는 직선의 기울기라고 수학적으로 정의할 수 있습니다.

바로 이 값이 그 점에서의 미분계수(differential coefficient)입니다.

 

정의구역의 모든 원소에 대해 그 각각의 미분계수를 대응시킨 함수를

도함수(derivative)라고 합니다.

그러니까 도함수는 임의의 점에서의 미분계수라고 할 수 있습니다.

미분한다(differentiate)는 말은 우리가 원하는 점에서 미분계수를 구한다는 말이고

따라서 도함수를 구한다는 말과 같습니다.

 

그러나 도함수를 구할 때마다 도함수의 정의를 따라 그대로 계산하는 것은

무척 비생산적입니다.

그래서 사람들이 몇 가지 기본적인 요소들에 대한 미분결과를 정리했습니다.

그것이 미분법의 공식입니다.

특히 교재에는 안 나와 있지만 노트에 있는 합성함수 미분법을 잘 공부하시기 바랍니다.

다음 시간에도 다시 다루겠지만, 미분을 처음 배우시는 분들이 어려워하는 대목입니다.

합성함수 미분법에 능통하지 않고서는 미분을 한다고 할 수 없는 만큼 꼭 복습하세요.

  

미분을 활용하면 함수의 모양을 보다 자세하게 알 수 있습니다.

도함수의 부호가 함수의 증감과 밀접하게 관련이 있기 때문입니다.

특히 이계도함수는 접선의 기울기의 변화율을 나타내므로

함수가 위로 볼록한지 아래로 볼록한지에 대한 정보를 줍니다.

 

그리고 물리에서 가장 많이 나오는 속도는 위치에 대한 시간 미분입니다.

물리적인 응용은 일반물리 과정에서 보다 자세하게 다룰 예정입니다.

 

적분은 넓이를 구하는 문제에서부터 시작했습니다.

기본적인 아이디어는 무한히 잘게 쪼개서(lim) 모두 더한다( )는 것입니다.

특히 함수 y=f(x)와 x축과 경계선들로 이루어진 도형의 넓이는

밑변의 길이가 아주 작은 직사각형들의 넓이의 합으로 구할 수 있습니다.

이 때 이 도형의 넓이를 하나의 함수로 보았을 때 이 함수의 도함수는

도형을 이루는 원래 함수 f(x)가 된다는 놀라운 사실을 알 수 있습니다.

이로부터 우리는 미분해서 f(x)가 되는 그런 함수만 찾으면

도형의 넓이를 손쉽게 계산할 수 있습니다.

이것이 정적분(definite integral)입니다.

 

미분해서 f(x)가 되는 어떤 함수 F(x)를 찾는 과정은

부정적분(indefinite integral)이라고 합니다.

따라서 부정적분은 미분의 역산에 해당합니다.

 

적분을 알면 도형의 넓이나 부피를 쉽게 구할 수 있습니다.

그리고 속도나 가속도가 각각 위치와 속도의 미분이므로

이 관계를 이용하면 위치와 속도를 시간의 함수로 나타낼 수 있습니다.

 

물리학에서는 거의 대부분의 나눗셈은 미분으로 정의된 양이고

거의 대부분의 곱셈은 적분으로 정의된 양이라고 해도 과언이 아닙니다.

이번 2회 강의는 비록 인문계열 과정만 다루지만 미적분의 핵심 개념을 배웠기 때문에

총 12회 강의 중에서 가장 중요한 강의라고도 할 수 있습니다.

다음 두 가지 공식은 꼭 기억하시기 바랍니다.

  

 

  

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복습 모임이 이제 어느 정도 안정되어 가고 있습니다.
완주하실 분들도 대충 추려진 듯하고요.

회차가 거듭될 수록 점점 넘어야할 높은 벽에 다가간다는 긴장감이 밀려옵니다.

4차 까지는 웃고 떠들고 화기애애 할수 있을것 같습니다. (적어도 이과 수학을 접했던 분들은 별 어려움 없이, 했던 걸 다시 리마인드하면 되니까요.)

5차부터... 이제 높다란 벽 앞에 서서, 어떤 팀웍으로 어드러케 힘을 합쳐서 무사히 전원 넘어갈지... 흥미진진합니다.

 

참석자 ; 김상순 김제원 김태균 박인순 이기두
            이록주 전종익 한정규 홍경화 최상성
            최보근

뒷풀이 ; 칼국수집 식사. 김태균 전종익 홍경화 김제원 4인.
           (바쁘신 분들은 가시라고 해서, 많이들 가셨나 봐요. 담에는 좀 바빠도 같이 먹고 가자고 할께요^^)
           (익명을 요구하신 홍일점 선생님 잘 먹었습니다~)

다음 발제자 : 앞부분 김태균 회원님
                   뒷부분 최상성 회원님

5월 19일(토)  12시~3시.   (백북스 다른 모임의 편의를 위해 이번 모임만 시간을 땡겼습니다.)
장소 : 위지안 스터디룸 (신촌역 근처. 적당한 크기에 적절한 비용 관계로 부득이 옮겼습니다.)
                                (확정되는대로 자세히 올리고, 메세지도 보내드리겠습니다.)


회계 :
 - 수입
   (전 잔고                    418,500)
   지난 모임 이월액          49,200
   강의실 대여료 갹출     120,000

- 지출
    강의실 대여료            100,000 (여기에 예약금 2만원 더하여 12만원이 실제 대여료임)

- 남은 돈
    (전잔고                     418,500)
     현재 소모임 잔고         69,200