칸토르의 농담

 

 

칸토르의 농담.

칸토르는 대각선 논법을 발표했다.

대각선 논법에서 칸토르는 무한히 긴 자리수의 임의의 수를 무한개를 나열해 놓았다.

그 임의의 수들 중에 첫 번째 수의 첫째 자리에서부터 마지막 수의 마지막 자리까지 대각선 방향으로 직선을 그었다.

이 직선에 걸리는 자리의 모든 숫자를 1이면 0으로 바꾸고,  0이면 1로 바꾸어 첫째자리부터 아래 자리로 나열하여 새로운 수를 만든다.  

이 작업이 무한자리 까지 연장이 계속된다면 이렇게 해서 생긴 새로운 수는 자연수에는 대응하지 않는 수이니까, 이 수는 셀수 없는 무한수(불가부번)고 발표했다.

즉, 대각선 논법은 셀수 있는 무한과 셀수 없는 무한을 구별하는 것을 증명하는 것이다.

참 재미있는 아이디어다.

칸토르 자신도 이 이론이 성립하지 않는 줄 알면서도  이 아이디어가 재미있어서 시치미 뚝 떼고 발표한 것이다. (라고 추측합니다.)

칸토르는 이유는 밝히지 않고  2진수 일 때,  초한수의 개수가 2^초한수-1이라고 스스로 말했기 때문이다.

이 증명법에서  종에 해당하는 자릿수인 자연수가 셀 수 있는 자연수로서 가부번 무한수라면,  횡에 해당하는 개수는 (2~10)^종의 자릿수-1로서 자동적으로 계산되므로

횡의 개수도 역시 가부번 무한이다.

즉 대각선 논법은 칸토르가 성립하지 않는 줄 알고도 발표한 농담이라고 생각한다.

그런데 칸토르가 유리수는 순서를 정할 수 있는 무한이고,   무리수는 순서를 정할 수 없는 무한이라고 했다는데  이건 좀 농담이 지나치다.

 세상에는 수가 하나이지 둘이 아니다.

만약에 순서를 정할 수 있는 수가 있고,  이 수와는 별도로 순서를 정할 수 없는 수가 따로 있다면, 

 이 우주에는  역학의 법칙을 따르는 우주가 있고,

이와 별도로  역학의 법칙을 따르지 않는

우주가 별도로 있어야 한다.