앞쪽 아닌가요?

변AB와 변DC를 이어 붙인 원통의 부피가 더 크네요.
제가 수학을 못해서 종이를 오려서 만들어 보았습니다..
길이가 짧은 변과 긴 변의 비율만큼 부피가 차이가 나는 상관관계가 있는 것 같네요.
육형빈 회원님께 수학을 배우고 싶으네요.

깊이 졸려하고 있는 저는 찍겠습니다 =,.=;
제 답변은요.......
똑같은거 아닌가요?ㅋㅋ

정답은 60초 후에 공개되려나?ㅎㅎ
잠깨는 오후 되겠습니다~

원글에 첨부된 그림을 보면 '원의 넓이 = 1/2 × 원의 둘레 × 반지름' 을 알 수 있는데 마찬가지로,
'원통의 부피 = 1/2 × 원통의 옆넓이 × 반지름' 입니다.

두 원통의 옆넓이는 같으므로 반지름이 큰 원통이 부피도 큽니다.

변AB와 변DC를 이어 붙인 원통이 더 크네요. 잘 푸셨습니다.

그렇다면 문제의 그림과 관계 없이 일반적으로 겉넓이(옆면+윗면+아랫면)가 일정할 때 부피가 최대인 원통은 어떤 모양일까요?

황새가 먹었던 높이가 높은 원통이 아닐까요? ^^

옛날에 쓰던 말(斗)이 있었는데 비율을 안 재 봤어요.

박물관에 가봐야 하나?

@..@

if AB=b ＆ BC=a ＆ r=a/2 ; then Va = (ab/4)×a
(1) if a > b ; then △V = Va - Vb = (ab/4)×(a-b) > 0 ∴ Va > Vb
(2) if ab+(a^2/2)=const --> {일정한 표면적 조건} ;
then Va = (a/4)×(const-a^2/2) = max <-- when (a = b 또는 {a:b = :1})

공 모양의 '구'이어야 한다고 생각됩니다.

"그림과 관계없이"라는 귀절이 함정(?)이라면 답이 "공"이겠지만 끝 귀절이 "원통은 어떤 모양" 이라서...

원통에서 찾으시면 됩니다^^ 일반적인 폐곡면에서 찾으면 구이지만 너무 어려운 문제라...

문제를 푸는 것도 중요치만 일단 풀었다면 어떻게 푸는지도 관심인데요

1번에대해서는
•주민수님의 경우 각DAB가 90도인 경우만 적어주셨네요 다른 경우는 결과가 달라질 수 있겠죠
•원통의 부피라고 하면 '밑면 × 높이'로 구하는게 보통인데 '옆면/2 × 반지름'으로도 구할 수 있다는 걸 말하고 싶고요
•황새가 먹은 건 작은 겁니다
•이기두님 말씀은 이해가 잘 안가서...


2번에대해서는
•주민수님의 경우 미적분을 사용하신 것 같은데 미적분 없이 구하는 방법을 말할 의도였습니다

육형빈 회원님 고맙습니다. ^^
제가 어제 새벽 3시 경에 귀가하여 이 문제를 보고서 밤새 잠을 이루지 못했습니다.
종일 고민하다가 일을 마치고 오후 9시 경에, 인천토요모임 주관해 주시는 교수님 연구실을 찾아 뵙고 증명으로 풀이할 수 있는가에 대해 새벽 1시까지 함께 풀어 보았습니다.
해제를 올리신 것을 확인하고서 일단 귀가하였습니다.
원통의 부피 = 원둘레면적/2 X 반지름 공식으로 풀이하는 것에 경탄하였습니다!
많은 것을 생각하고, 새로운 인연을 만드는 계기가 되었습니다. 고맙습니다.

육형빈님, 저는 아는게 미적분 밖에 없어서... --;;
참, 평행사변형의 일반해는:
if ∠DAB=θ & AB=b & BC=a & AB⊥=b×sinθ ＆ radius=a/2π ;
then Va = (ab×sinθ/4π)×a = {(ab×sinθ)/2}×(a/2π) = {Area/2}×radius

재밌습니다.. ^^
계속 해 주세요~

주민수님 Va = (ab×sinθ/4pi)×a 가 나온 배경이 궁금한데요. ab×sinθ/4pi와 a를 곱하면 부피가 구해지는 직접적인 설명이 있는지 아니면 다른 방법으로 부피를 구한뒤 식을 정리한 건지 궁금하네요. 가능한 설명은 원통이 회전체임을 이용한 것인데 그러면 변AB와 변DC를 이어붙인 원통의 부피는 (ab×sinθ/2pi)×a/2 가 되어 위 식이 나올 것 같네요. 어떤 과정으로 하셨나요?

먼저, AB=b & BC=a 그리고 ∠DAB=θ 라고 놓겠습니다.

BC를 동그랗게 말아서 생기는 원통은 AB와 CD의 이음새가 밑면에 수직이 아니라 비스듬한 선이 되는 원통입니다. 이 원통의 밑면의 원둘레는 a 가 되고 높이는 b×sinθ 이므로 원통의 옆면의 넓이는 Area=ab×sinθ 입니다.

한편 밑면의 원둘레가 a 이므로 a=2×r 이라는 원둘레 공식에 의해 밑면의 반지름은 r=a/2 가 됩니다.
따라서 원통의 밑면을 이루는 원의 넓이는 ×r^2=×a^2/4^2=a^2/4가 됩니다.

그런데 a를 원통의 밑둘레로 하는 원통의 부피 Va는 [{밑면의 넓이} × {높이}] 이므로,
∴ Va = {a^2/4} × {b×sinθ} = (ab×sinθ/4)×a = {(ab×sinθ)/2}×{a/2} = {Area/2}×radius

정육면체일 때 부피가 가장 크므로,

정의에 의해서
반지름과 높이의 합이 A이고, 일정하다고 하면,

구하는 답은 r = A-r = pi*r일 때이어야 하는데,

r=A/(1+pi)이거나, r=A/2일 때인 것 같습니다.

그런데r= A/(1+pi)인 동시에 r=2A일 수 없으니까, 정육면체인 경우는 없네요.

검산하니까, r=A/(1+pi)는 답이 안 되고,

r=A/2이어야 할 것 같습니다.

즉, r과 높이가 같을 때.

높이를 pi*r로 하는 경우도 있는데, 이 경우에는 높이를 r로 하는 경우보다 r이 작아져서 불리할 것 같네요.

<@ .. @>

주민수님 // 부피를 {밑면의 넓이} × {높이} 로 구하셨군요
이기두님 // 문제에서 반지름(R)과 높이(H)의 합(=R+H)이 일정한 건 아니고요. 겉넓이(=2piR² + 2piRH)가 일정합니다. 하지만,

1) 반지름과 높이의 합이 일정할 때도 부피의 최대값을 구할 수 있습니다. 보통 미적분을 이용해 구하지만 미적분을 이용하지 않고도 구합니다.

문제) R + H = k(일정) 일 때, V = piR²×H 의 최대값

풀이) 변수가 세 개인 산술-기하평균 부등식을 이용합니다.

k = R/2 + R/2 + H ≥ 3(R/2×R/2×H)^⅓ = 3(R²×H/4)^⅓

따라서 k ≥ 3(R²×H/4)^⅓ = 3(V/4pi)^⅓

우변이 최대인 경우 V도 최대입니다. k가 일정하므로 우변이 최대인 경우는 산술-기하평균의 등식이 성립하는 경우이고, (아시다시피 각 항이 모두 같은 경우로) R/2 = H 입니다.
즉, 반지름이 높이의 두배입니다. 지름은 높이의 네배입니다.

2)겉넓이가 일정할 때 부피가 최대인 경우는?

문제) 겉넓이 = 2piR² + 2piRH = k(일정) 일 때, V = piR²×H 의 최대값?

풀이) 마찬가지로 산술-기하평균 부등식을 이용합니다.

k = 2piR² + piRH + piRH ≥ 3(2piR²×piRH ×piRH)^⅓ = 3(2pi³R⁴H²)^⅓ = 3(2piV²)^⅓

우변이 최대일 때 V도 최대입니다. k가 일정하므로 우변이 최대인 경우는 부등식의 등호가 성립하는 경우입니다. 즉, 2piR²= piRH

따라서, 2R = H , 지름과 높이가 같은 경우입니다.

추가로 마지막 식의 양변에 pi를 곱하면 2Rpi = Hpi 입니다.
주민수님이 사용한 기호로 표현하면 위식은 a=bpi 가 돼 결과가 같습니다.

육형빈님이 계산하신 겉넓이(=2piR² + 2piRH)는 2piR(R+H)가 되어서 결국 겉넓이 일정은 R+H가 일정과 같은 것 같은데요.
그런데 풀이결과가 다른 것은 ?

직관적으로 생각할 때, 지름과 높이가 같으면 단면형상이 정사각형이 되어서 최대 부피가 될 것 같다는 생각이 들었습니다.
정사각형을 만드는 조건, h=r, h=pi*r, h= 2r이 있는데, h=2r을 찾지 못 했는네요.


^ ^

이기두님// R(R+H)이 일정한 것과 R+H이 일정한 것은 다릅니다. A와 B가 다른 것처럼 다릅니다. R+H 가 일정한 값일 때 R 이나 H는 어떤 값도 가능하기 때문입니다.

그리고 답을 찾으신 과정이 '이런 경우에 조건을 만족할 것 같다'라는 추측하에 가능한 경우를 몇 가지 찾아서 '이런 것들이 답일 것이다'라고 하셨습니다.
이 경우 '답을 찾았다'기 보다 '답을 추측했다'고 보여집니다. 아주 난해한 문제여서 답을 찾는 게 거의 불가능하거나 시간이 지나치게 오래걸릴 경우, 근사적인 답을 얻기위해 이런 방법을 사용하기도 한다고 합니다.

김형렬님// (1)의 풀이로는 가장 간결한 풀이인 것 같습니다.^^

R² + RH= K로 놓고,
R(R+H) = k
R + H = k/R
그런데 k/R 은 일정일 수 없네요.

즉 육형빈 님의 말씀이 맞는 것을 알게 됐습니다.
제 자신이 제 자신이 틀린 것을 증명했습니다 ^ ^

육형빈 회원님... 작전 성공..
오프에서 안되면, 온라인에서 되게 하라~!!!
축하드립니다.
계속 재밌는 문제 올려주세욤~