앞에서 “다시 각을 3등분한는 법”을 쓴 이후로 그림상으로는 3등분이 되는 것을 확인 하여지만, 심증만을 내세우고, 수식으로 증명을 하지 못하였습니다.
잎에서 주장했던 내용을 바탕으로 그림을 중심으로 수식으로 증명을 시도 합니다.
각의 삼등분의 문제는 위의 그림에서 α와 β각이 2:1로 결정되는 것을 찾는 것이라고 할 수 있습니다.
위 그림은 앞의 각의 3등분의 검토에서 각L1-0-L2의 부분만을 나타낸 것입니다.
위 그림은 원점 0에서 서로 교차하는 L1과 L2에 대하여, 직선 L2 상에 원점0로부터 선분 r과 선분 2r로 나누고, 2r을 반지름으로 내측으로 원호를 그리며, 직선 L1상에 원점0로부터 선분 2r과 r로 나누고, r을 반지름으로 내측으로 원호를 그려서 두 원호가 만나는 교차점을 P4로 정합니다.
원점과 L2 상의 r만큼 거리의 P1과 P4를 연결하고, P4와 L1상의 P2를 연결하고, L1상의 2r을 연결하면, 이미 알고 있는 것처럼 평행사변형이 됩니다.
여기에서 이 평행사변형의 원점0와 P4를 연결하면 선분 L5를 얻고, 선분 L5가 선분 L1과 L2가 이루는 각도를 2:1로 분할하게 되는 것을 증명하는 것이 이글의 증명의 목적입니다.
위 그림에서 P1과 P2에서 L5에 각각 수선을 내린 것이 h입니다.
h는 r이 정해져서 작도가 이루어지면, 주어지는 r과 θ 의 크기에 의해서 자동적으로 결정이 되는 상수값입니다.
L5가 L1과 각도를 β라고 칭하고,
L2와 이루는 각도를 α라고 칭합니다.
이때 각 α는 sinh/r의 값입니다
그리고 각 β는 sinh/2r의 값입니다.
따라서 각 α : 각 β = sinh/r : sinh/2r = 2 : 1
여기서 h값은 r에 의해서 결정되므로 각 α : 각 β= 2 : 1 로 항상 결정됩니다.
이때 각도 α와 각도 β를 결정하는 요인은 주어진 각 θ와 임의로 결정하는 r 이외에는 개입하는 변수가 없습니다.
따라서 각L2-0-L1을 위와 같이 2 : 1로 나누는 것은 위의 방법으로 선분 r 을 임의적으로 정하면 자동적으로 결정되고, 항상 성립된다고 할 수 있습니다.
이로서, 앞의 “다시 각의 3등분 하는 방법” 은 증명이 되는 것입니다.