위의 그림은 앞에 쓴 글 “다시 각을 3등분하는 법”과 같은 구조의 그림입니다.
앞의 글의 각의 3등분을 증명하려면,
선분 L0와 L1이 이루는 각에 대하여, 선분 L2와 L4가 이루는 각이 2배이므로, L1과 L2가 이루는 각도를 선분 L7이 1:2로 분할한다면 앞의 글의 3등분하는 법은 성립하는 것입니다.
선분 L1과 L2가 이루는 각의 내부를 보면, 마주보는 변이 2r과 1r로 평행사변형인 구조로 한쪽 꼭지점이 선분 L1과 L2가 만난는 원점이고, 원점에 대하여 마주보는 꼭지점 P4는 P1에서 반지름이 2r로 그린 원호와 꼭지점 P2에서 반지름이 1r로 그린 원호가 만나서 겹치는 지점입니다.
선분인 L7은 꼭지점 P4에서 원점까지 연결한 선분으로서, 이 선분이 원점에 접한 내각(L2-0-L1)을 1:2로 분할하기 때문에 각의 3등분을 할 수 있다는 것을 증명하려는 것입니다.
여기서 선분 L2상에서 P1점에서 P4점으로 그은 선은 원호 R4의 반지름 2r이고, 선분 L2상의 점 P1에서 P4에 연결한 선분과 L2가 이루는 각은 L1과 L2가 원점에서 교차하여 이루는 각을 평행이동한 동위각이 되어 내각(L1-0-L2)와 동일한 각도입니다.다시 L1선상에서 P2점에서 P4점으로 이은 선은 원호 R2의 반지름 1r이고, 선분L1과 선분 P4-P2가 이루는 각은 L1과 L2가 이루는 각을 평행이동한 동위각이 되어 동일각입니다. 쯕 각(L2-P1-P4)와 각(P4-P2-L1)은 동일한 각도입니다.
여기서 평행사변형의 외각으로서 같은 각도이면서 반지름이 1r인 원호와 반지름이 2r인 원호가 만나서 이루어진 교차점이 평행사변형의 꼭지점인 P4입니다.
이때 P1과 P2로부터 그림과 같이 반지름 1r과 2r로 선분 L1과 L2에 대하여 같은 각의 호를 그렸으므로, 이렇게 만들어진 두 호의 크기는 1πr:2πr로서 1:2의 관계가 됩니다.
따라서 P4와 원점을 이은 선분 L7는 L1과 L2가 이루는 각을 1:2로 분할하게 됩습니다.
이렇게 하여 선분 L7은 L0와 L4가 이루는 각도를 1:2로 분할하고, 같은 방법으로 반대편의 두번째 내각인 L2와 L3에 시행하면 역시 1:2로 분할 할 것이므로, 본래 증명하려는 전제를 만족하므로, 각의 3등분은 성립하는 것입니다.
이로서 2천년의 난제인 “각의 3등분”을 해결할 수 있는 것처럼 보입니다.
3등분
제 아이디어의 가장 강점은 오묘한 방법이 아니고, 기존에 인정받고 있던, 2등분과 같은 방법의 연속선에 있고, n 등분까지 확장이 된다는 것으로 '일반화' 된다는 것입니다.
이 것이 이 방법을 받아드려야 한다는 근거일 것입니다.
이를 증명하기 위해서 2등분의 그림을 첨부했습니다.
이해하시기 편하게, 위에 더 단순화한 그림을 첨부했습니다.
각의 3등분과 비교하기 위해서 각의 2등분의 구조를 알수 있는 그림을 첨부했습니다.
아래에 주민수 교수님의 지적에 따라 90도의 3등분을 첨부했습니다.
<90도의 3 등분>