2009년 12월12일 마지막 강의노트입니다.

처음엔 언제 끝날까 싶었는데 지나보니 벌써 끝났네요.
마지막 강의노트를 올립니다.

이번 강의에서는 프리드만-로버트슨-워커 (FRW) 우주론의 기본을 공부했습니다.
우선 공간이 균질하고 등방적이라는 성질로부터 로버트슨 워커 메트릭을 유도했습니다.
공간이 균질하고 등방적이면 공간이 최대한으로 대칭성을 갖게 되는데 이 때 리만 텐서는 아주 단순한
형태를 취한다는 것이 수학적으로 알려져 있습니다.
또한 메트릭의 공간 성분은 지난 시간에 배웠던 구형대칭의 메트릭 형태를 일단 가지겠죠.
이 두가지를 잘 엮으면 로버트슨 워커 (RW) 메트릭이 나옵니다.
그러면 아인슈타인 방정식의 좌변은 해결이 된 셈이지요.
메트릭이 나왔으니까 크리스토펠 심볼과 리치텐서는 자동적으로 계산됩니다.
RW 메트릭에는 곡률 상수(k)라는 값이 있어서 이 값이 0이면 공간은 flat하고 +1이면 닫혀 있고 -1이면 열려 있게 됩니다. 수학적으로 k는 이 세가지 값만 따져보면 됩니다.

그런데 아직은 RW 메트릭이 완전히 정해지지는 않았습니다. 대략적인 모양만 나왔지요.
RW 메트릭의 가장 중요한 구성요소는 a(t)라고 하는 스케일 팩터입니다.
이것은 공간상의 두 점 사이의 거리라고 할 수 있죠.
a(t)가 시간에 따라 어떻게 달라지는가 하는 것이 곧 우주의 진화 과정이라고 할 수 있습니다.
그러기 위해서는 아인슈타인 방정식의 우변이 필요합니다.
즉 시공간에 에너지가 어떻게 분포해 있는지를 알아야겠죠.

우주 전체를 놓고 봤을 때는 우주를 채우고 있는 에너지를 완전유체로 기술하는 것이 편리합니다.
이는 밀도와 압력으로 그 상태가 완전히 기술되는 물질형태입니다.
밀도와 압력은 물질의 성질에 따라 서로 다른 상관관계를 가집니다. 그 정도를 w로 표현합니다.
즉 (압력)=w*(밀도)의 관계가 있습니다.
w가 0이면 물질(matter)이고 w가 1/3이면 빛입니다. 그리고 w가 -1이면 공간 자체의 에너지를 나타냅니다.
이제 아인슈타인 방정식의 우변도 완전한 모양을 갖추었습니다.
방정식을 풀기면 하면 되죠.

방정식의 (0,0)성분과 (i,j)성분을 따로따로 풀면 스케일팩터 a(t)와 물질의 밀도 및 압력 사이의 관계식들이 나옵니다. 이 두가지 방정식을 프리드만 방정식이라고 합니다.

프리드만 방정식은 스케일 팩터의 시간에 대한 일차미분과 이차미분에 대한 정보를 담고 있습니다.
이때 (da(t)/dt)/a(t)가 바로 우주의 팽창 정도를 나타내는 허블상수입니다.
이 식으로부터 우리는 임계 밀도 구할 수 있습니다.
임계밀도란 우주를 평평하게 만드는 (k=0) 우주 안의 에너지 밀도입니다.
그러면 실제 우주의 에너지분포를 임계밀도에 대한 비율로 표현이 가능하며 이로부터 우주의 시공간 형태를 판별할 수 있습니다.
즉 실제밀도가 임계밀도보다 작으면 우주는 열려 있습니다.(k=-1)
밀도가 임계밀도와 같으면 우주는 평평하며 (k=0) 임계밀도보다 높으면 우주는 닫혀 있습니다.(k=1)

이것이 FRW우주론의 핵심 결론이죠.
실제 지금의 우주 에너지 밀도는 거의 1입니다. 즉 우주는 아주 평평합니다.
그날 수업 때 혹시 관측값으로부터 k=1이라고 결론내리면 우주 공간이 나중에 닫혀지는 게 아니냐는 질문이 있었는데요. 그것은 수업 말미에 잠깐 얘기했던 경우에 해당하는데 (빅 크런치) 이 때는 우주상수가 0인 경우입니다. 우주상수가 0이 아니면 스케일 팩터가 최대값을 가진다는 논리가 성립하지 않겠죠.

우주상수는 공간 자체가 가지는 에너지로서 스케일팩터의 이차미분을 증가시키는 효과가 있습니다.
즉 우주를 가속팽창시키는 역할을 합니다. 실제 관측에 의하면 w=-1인 미지의 에너지, 즉 암흑에너지가 약 70퍼센트 있습니다. 사람들은 암흑에너지의 정체가 우주상수일거라도 생각하고 있지만 아직 확실하지는 않습니다.

보다 자세한 내용은 정리해서 올린 노트를 참고하시고요.
수학 아카데미 1년에 대한 소회는 조만간 따로 올리겠습니다.
아무튼 여러분 1년간 정말 수고많으셨습니다.