이번 강의에서는 일반상대론의 기본개념들을 배웠습니다.
우선 4-벡터를 배웠는데요.
상대성이론에서 가장 많이 등장하는 개념입니다.
covariant 와 contravariant 의 뜻도 함께 알아두시기 바랍니다.
4-벡터를 이용하면 상대론적으로 에너지와 운동량을 기술할 수 있습니다.
벡터에 반해 스칼라는 좌표변환에 대해 변하지 않는 양입니다.
로렌츠 스칼라 중에서 중요한 것이 시공간 상의 거리 혹은 고유시간입니다.
로렌츠 변환은 이 양이 변하지 않도록 하는 변환입니다.
그리고 텐서도 배웠습니다.
텐서 가운데 가장 중요한 텐서가 메트릭 텐서입니다.
텐서가 텐서이려면 각 인덱스가 covariant하거나 contravariant한 방식으로
변환해야만 합니다.
그리고 측지선 방정식을 배웠습니다.
이것은 두 가지로 해석할 수 있는데요.
첫째는 4차원 시공간의 두 점 사이의 최단거리입니다.
이것을 오일러-라그랑지 방정식으로 풀면 측지선 방정식이 나옵니다.
다른 한편 측지선 방정식은 자유낙하하는 좌표계의 운동방정식을 일반적인
좌표계로 변환하면 얻을 수 있습니다.
측지선 방정식을 보면 가속도에다가 공간적 효과에 의한 새로운 항이 들어갑니다.
이와 관련된 계수가 바로 affine connection 혹은 Christoffel symbol입니다.
크리스토펠 심벌은 텐서가 아니라는 점에 유의하셔야 합니다.
또한 크리스토펠 심벌은 covariant derivative를 정의할 때도 꼭 필요합니다.
크리스토펠 심벌 유도할 때 제가 인덱스 잠깐 착각한 것은 이번 노트에서 다시 정리했습니다.
크리스토펠 심벌로부터 우리는 리만 텐서를 만들 수 있는데요.
리만텐서는 공간의 성질을 모두 담고 있는 텐서입니다.
또한 벡터를 평행변환했을 때 그 차이를 수량화한 양입니다.
리만텐서의 첫번째와 세번째 인덱스를 contract하면 리치 텐서를 얻습니다.
리치 텐서의 두 인덱스를 contract하면 리치 스칼라를 얻습니다.
리치 텐서와 (리치 스칼라*메트릭 텐서)의 적절한 조합이 바로 아인슈타인 텐서로서
아인슈타인 방정식의 좌변을 이룹니다.
수학적인 디테일에는 우선 너무 신경쓰지 마시고 전체적인 스토리의 흐름을 파악하시기 바랍니다.
그리고 아인슈타인 텐서, 리치 텐서, 리만 텐서 등등이 대략 어떻게 정의되는지 정도만 한번 복습하세요.
다음 11월에는 아인슈타인 방정식의 몇 가지 성질을 먼저 다루고
고전역학과의 관계, 태양빛의 휨, 수성 근일점 이동, 슈바르츠실트 해 등을 배우겠습니다.
오늘도 스위스 사진 몇 장 올립니다.
용량을 대폭 줄여서 원본보다는 화질이 좀 못합니다만..양해 바랍니다.
유람선에서 바라 본 루체른 시내 전경. 날이 흐려 사진이 잘 안나왔습니다.
루체른 인근 리기 산에서의 하이킹 코스.
루체른 도심 카펠 다리 근처 야경
베른 시가
베른에 있는 아인슈타인 하우스 안의 자료들. 특수 및 일반상대성이론의 원리를 설명한 그림들.