공부하다 도움이 될까해서 올려봅니다.
흔히 dx를 '무한소(infinitesmal)'로 잘못 알고 있는 경우가 많다고 합니다.
dx는 x의 변화량이 0으로 접근하는 과정 각 단계에서의 실체적인 값으로, '무한대'와 반대개념인 '무한소'의 개념과 혼동하는 것은 잘못이라고 합니다. '무한소'는 '무한대'와 마찬가지로 수가 아닙니다.
17세기 이후 미적분학이 탄생된 이후 사람들은 'dx의 본질'에 대해 많은 혼란을 겪었습니다. 뉴턴과 라이프니츠를 비롯한 당시 수학자들은 이것을 "0보다는 크지만 어떤 실수보다 더 작은 수"라는 애매한 개념으로 이해했습니다. 이후 많은 비판을 받았고, 수학의 3대 위기 중 둘째 위기가 초래되었습니다. 이 위기는 나중에 코시와 바이어슈트라스(Karl Weierstrss, 1815-1897) 등의 수학자가 '극한'의 의미를 엄밀하게 가다듬어 적용함으로써 마침내 해소되었다고 합니다.
2009.05.14 23:14
dx는 '무한소'가 아니다
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이 내용은 대학 수학에서 해석학(analysis)을 배울 때 공부합니다. 함수나 극한 등의 개념은 처음부터 엄밀하게 정의되지 않았기에 혼란을 가져왔고, 이 문제를 해결하기 위해 19세기에 엄밀한 수학으로서의 해석학이 발전합니다. 말씀하신 것과 관계있는 것은 극한에서 "무한소"라는 개념을 쓰지 않기 위해 코쉬가 제안하고 바이어슈트라우스가 정리한 엡실론-델타 논법입니다. 간단하게 이야기하면 부등식과 임의의 수만을 도입해 "...일 때 ...인 수가 존재한다"는 식으로 접근함으로써 "무한소"라는 문제있는 개념을 아예 도입하지 않는 것이죠.
무한소가 왜 애매하면 문제가 되느냐, 이건 0.99999999... = 1이라는 것을 의외로 많은 사람들이 받아들이지 못하는 것을 보면 알 수 있습니다. 0.33333... = 1/3이니까, (0.3333*3) = (1/3) * 3 = 1이라는 식의 설명 대신 다른 접근법을 취해보세요.
1-0.9 = 0.1
1-0.99 = 0.01
...
1-0.999999999... = 0.000.............? 뭔가 남는 거 아닌가요?
이렇게 보면 수열 0.9, 0.99, 0.999....의 극한이 1이라는 사실을 자명하게 받아들이기 힘들어 집니다.
해석학은 이런 종류의 혼동을 없애기 위해 엄밀한 방법을 사용함으로써 함수, 극한, 연속, 미적분 등의 개념을 단단한 기반 위에 올려 놓았습니다. -
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댓글도 이해하기 쉽지 않지만 재미있습니다.아예 의심도 하지 않았던 부분인데 문제제기에 해답까지 친절히 가르쳐주시니...수학 아카데미 수업이 놀토라서 못가보는게 무척 아쉬운데 여기서 가끔 올려주시는 글을 보며 나름 갈증을 조금 해소해 봅니다.
나이 40넘어서 수학공부 다시 하고 싶은 열망이 마구마구 샘솟습니다.
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'무식한' 물리학자들(이분들이 무식하다면, 진정 유식한 인류는 어디서 찾아야 할지??? ㅎㅎㅎ)이라 할 정도니, 수학자들은 엄밀함에 한치도 용납이 없나보내요.
이헌용 선생님과 제가 속해 있는, 생생히 살아 움직이는 사람을 다루는 분야에선 친숙하지 않은 분위기이기도 하죠.
dx는 실체적인 수. 명심해야겠네요.