그저께 있었던 수학아카데미 5월 강의 노트입니다.
이번 강의에서는 대학수학과정을 처음으로 다루었습니다.
우선 급수전개를 배웠습니다.
가장 중요한 것은 테일러 전개입니다.
임의의 함수를 (적당한 조건이 만족되면) 원하는 점 근처에서 다항함수로 전개할 수 있다는 얘기입니다.
특히 삼각함수와 지수함수의 테일러 전개식을 꼭 기억하시기 바랍니다.
(강의 내용: 1.1장, 1.4장, 1.5장, 1.10장, 1.12장, 1.13장)
그리고 복소수를 배웠습니다.
허수단위의 정의와 성질을 먼저 숙지하시기 바랍니다.
복소수를 극좌표에서 표현하는 방법이 아주 중요합니다.
이 과정에서 오일러 공식이 나왔습니다.
앞으로도 자주 보게 될 것입니다.
(강의 내용: 2.1장, 2.2장, 2.3장, 2.4장, 2.5장, 2.9장, 2.11장, 2.12장)
3장에서는 선형대수학을 배웠습니다.
선형대수는 행렬에 대한 수학입니다.
행렬의 뜻과 성질, 무엇보다 행렬의 곱하기를 하는 방법을 아셔야 합니다.
행렬을 이용하면 연립방정식을 쉽게 풀 수 있습니다.
이 때 중요한 것이 행렬의 행렬식과 역행렬입니다.
행렬식은 행렬의 특성을 나타내는 숫자입니다.
그리고 벡터의 내적과 외적을 배웠습니다.
이 둘은 앞으로 물리학에서 항상 등장하는 내용입니다.
특히 외적의 결과로 나오는 벡터의 크기와 방향에 유념하시기 바랍니다.
그리고 행렬은 그 자체가 어떤 벡터에 대한 선형변환을 나타냅니다.
이 성질은 곧바로 양자역학으로 이어집니다.
하이젠베르크가 구축한 양자역학이 바로 행렬을 이용한 행렬역학입니다.
행렬로 표현되는 선형변환 중에서 회전변환이 가장 대표적이며 또 유명합니다.
행렬이 하나 주어지면 그 행렬을 여러 가지로 바꿀 수 있습니다.
transpose, dagger(hermitian conjugate) 등등이 중요합니다.
특히 hermitian은 물리학에서 자주 등장합니다. 양자역학은 모두 hermitian입니다.
끝으로 고유값 문제를 배웠습니다.
이는 행렬변환에 의해 그 방향이 고정되는 벡터에 관한 문제입니다.
고유값 문제는 곧 양자역학의 슈뢰딩거 방정식을 푸는 문제입니다.
여기서 배운 내용은 고스란히 양자역학 문제를 풀 때 그대로 적용됩니다.
간단한 예로 두 직선이 뻔하지 않은 해(nontrivial solution)를 가질 조건이
행렬식이 0이라는 점을 유념하시고 이 조건의 기하학적 의미(두 직선이 겹침)까지
함께 기억하시기 바랍니다.
(강의내용: 3.1장, 3.4장, 3.6장, 3.7장, 3.9장, 3.11장)
다음 달(6월)에는 5장, 6장, 7장의 전반부, 10장의 일부(10.1, 10.3, 10.8, 10.9)를 다룰 예정입니다.
여기까지 하시면 7월부터 본격적으로 뉴턴역학을 공부하시는 데에 큰 불편함은 없을 겁니다.
6월까지 잘 따라오신 분들에게는 7월부터 아마 새로운 세계가 열리지 않을까...하는 생각을 해 봅니다.^^