무한의 신비

1918년 정신병동에서 쓸쓸한 죽음을 맞은 칸토어에 대한 이야기를 바탕으로 무한의 이론과 개념에 대해 논하고 있는 책. 그것은 단순히 한 개인의 수학적 연구를 규명하는 차원에서 그치는 것이 아니라, 고대 카발라와 수비학까지 이르는 심히 비밀스럽고도 은밀한 무한에 대한 본질적인 것을 논하고 있다. 역사적 상황과 사실을 바탕으로 무한의 옷자락을 들추고자 하였던 사람들은, 고대 카발리스트나 칸도어와 괴델같은, 모두 정신병자가 되어버렸거나 죽음을 맞이하였다. 중세 이전까지는 무한은 신의 영역이라고 규정지었고 그에 도전하는 것은 곧 신의 위업에 도전하는 것과 같이 여겼다. 그들은 신의 위업에 도전하고자 하여 벌을 받은 것일까.

칸토어는 어떻게 무한에 관한 이론을 세웠는지, 그의 선구적인 업적의 영향력과 결과는 우리 세계의 미래를 어떻게 바꾸게 될 것인가에 대한 질문은 아직도 끊이지 않고 있다. 그는 처음 이 이론을 발표하고자 하였을 때 10년이라는 시간을 두고 망설였었다. 그리고 이 이론이 발표된 후에도 스승과 동료들에게 끊임없는 비난을 받았다.

칸토어의 천재성을 촉발시킨 영감은 수학에 그 뿌리를 두고 있지만, 그 의미는 아직도 다 풀리지 않았다. 다만 1947년에 사망한 쿠르트 괴델이 칸토어의 연속체 가설이 다른 수학과 독립적이라는 것을 증명했고, 그로써 수학의 기초는 그 자체가 흔들리게 되었다.

칸토어의 무한 이론은 겉보기에 모순 되는 것으로 유명하다. 예를 들어, 우리는 1인치 길이의 직선상에 있는 점의 수가 1마일 길이의 직선상에 있는 점의 수와 동일하다는 것을 증명할 수 있다. 우리는 또한 날days의 수만큼 많은 해years가 있다는 것도 증명할 수 있다. 칸토어가 증명한 바에 따르면, 무한집합들은 크기가 동일하다.

칸토어의 수학에 관한 철학적 연구는 고대 그리스의 수학과 유대인의 수비학에 뿌리를 두고 있다. 유대인의 수비학은 카발라로 알려진 신비주의 연구에서 찾아볼 수 있다. 칸토어는 무한을 표현할 때 헤브라이어 알파벳 첫 문자인 알레프라는 기호를 사용했다. 부수적으로 신을 연상하게 하는 의미가 깃들여 있는 알레프는 모든 양의 정수를 합한 신비한 수라고 말할 수 있다. 그러나 알레프는 마지막 양의 정수가 아니다. 왜냐하면 마지막이란 존재하지 않기 때문이다. 알레프는 항상 접근 중인 궁극의 수이다―1이라는 수 이전에 최후의 분수가 없는 것처럼.

역자 : 신현용

서울대학교 사범대학 수학교육과 졸업. 동 대학원 수학교육과 석사. 미국 알라배마 대학원 수학과 박사. 네델란드 국립수학연구소(CWI)방문교수. 해군 제2사관학교 수학교관(해군대위) 역임. 한국교원대학교 수학교육연구소 소장 역임. 현재 한국교원대학교 수학교육과 교수. 번역서로는 『우리 수학자 모두는 약간 미친 겁니다』와『뷰티풀 마인드』등이 있다.