무한의 신비 후기
0.999999999......는 1인가..
백북스 정기 모임에서 '무한의 신비'를 번역하신 신현용 교수님의 강의를 들은 후 생각한 것들을 쓰려고 합니다.
신현용 교수님이 강의에서 하신 주제는 크게 두 가지였습니다.
하나는 “유한적 사고로는 무한을 얘기할 수 없다.”
둘째는 "수학과 경험은 일치하지 않을 수 있다."
1. "유한적 사고로는 무한을 얘기할 수 없다."
신 현용 교수님은 수학의 역사에서 많은 파라독스를 만들어낸 무한은 우리의 감각을 느껴볼 수 없고, 경험할 수 없고, 실험으로 알 수없는 특성이 있어서 수학계에서는 많은 문제를 일으켜 왔다고 하셨다.
0.99999.......가 1인가 하는 의문에서 시작하여 계산수학에 사용하는 방법이 엄밀하기보다는 대충적 방법으로 대충 쓸 만한 결론에 이르고 있기는 하지만, 무한의 성질은 이러한 유한적 사고로 계산한 것이 이상한 결과가 나오기도 한다고 합니다.
즉, 1+ 2+ 2^2+ 2^3+ 2^4+ ........와 같은 급수의 합을 구할 때
S= 1+2+2^2+ 2^3+ 2^4+ ........이라 놓으면,
S= 1+2(1+2+2^2+2^3+2^4 ..........) 이라 놓을 수 있습니다.
다시 이 식의 괄호 안의 (1+2+2^2+2^3+2^4 .........)를 S로 놓을 수 있어서
이 식은 S= 1+2S가 되어 계산하면,
S= -1 되는데
1+2+2^2+2^3+2^4 .............. =-1 ?
이 답에 동의할 수 있는가 하는 반문입니다.
그러면 최초의 의문 0.9999999999.......는 1인가.
1을 3으로 나누면 0.333333.......... 이 되는데,
이것을 다시 3으로 곱하면 0.9999999..........가 되니까
결국 0.99999999.........는 1이어야 하지 않는가.
계산으로도
S= 0.9999999...... 로 놓고 10을 곱하면,
10S=9.9999999.........
아래 식에서 위 식을 빼면,
10S-S=9
9S=9
따라서 S=1 이라는 모순 없는 답이 나오는 듯합니다.
그런데 엄밀하게 생각해서 0.99999......가 1이라는 것을 선뜻 받아들이기 곤란합니다.
무엇이 문제일까?
문제는 0.99999999.........는 무한인데, 무한을 S로 놓으면서 발생합니다.
S는 유한이고, 0.99999999....... 는 무한입니다.
어떤 차이 인가.
0.9999999........ 로 무한이 나가는 것은 미해결의 문제가 남아 있기 때문입니다.
0.9999999.....에는 나머지 0.0000000.....1 이 아직 남아 있습니디.
0.0000000.....1 이 영원히 남기 때문에 무한이 가능한 것이라고 봅니다.
그런데 계산수학에서는 아주 작은 값은 실용적으로는 별의미가 없기 때문에 생략합니다.
미적분할 때 최고 차수 이하는 습관적으로 버리고 최고 차수만 계산하니까
매우 복잡한 계산이 아주 단순한 값으로 계산됩니다.
하지만 서울의 나비날개 짓이 뉴욕에서는 폭풍으로 바뀔 수 있다는 차원에서는
그런 작은 값도 생략될 수 없는 면도 있을 것입니다.
무한의 세계에서는 작은 차이가 엄청난 결과를 만들어 낼 수 있다고 말합니다.
지구 표면에서 0.00001도 각의 오차로 발사된 우주 로켓이 말머리성운을 향해 발사 되었을 때 각도의 보정이 없다면 얼마만큼 떨어진 위치에 도착 할까요?
직선위의 점과 정사각형의 점이 일대일 대응이 가능하다(자연수와 유리수의 이대일 대응)는 예와 칸토어 집합이라는 구조를 볼 때 이는 프랙탈이어야 가능하다는 생각이 들었습니다.
“칸토어는 실수의 성질을 설명하는데 프랙탈 구조를 들어 설명하고 있습니까“ 하고
신현용 교수님께 질문 했더니 프랙탈이라고 하셨습니다.
실수의 세계, 실무한은 프랙탈하다고 보아야 가능할 것 같습니다.
칸토어 집합이라는 구조에서부터 만델브로트 집합 등 수학에서 프랙탈 구조가 인위적으로 작도되고 있는 것을 보았습니다.
줄리아 집합, 코흐 곡선을 보면 수학도 아름다울 수 있구나 하고 감탄 합니다.
식물의 구조에서 동물의 구조에 이르기 까지 프랙탈을 발견할 수 있는데, 우리 몸의 실핏줄, 뇌의 신경망 까지 프랙탈 구조는 광범위하게 발견됩니다.
생명현상은 막에서 이루어 지는데 3차원에서 막을 최대로 확장하는 방법이 프랙탈이었지요.(멩거의 스펀지 참조)
이보디보도 프랙탈한가?
그런 것 같습니다.
유전자보다는 무작위성을 높이는 과정이 생물체의 진화였고, 다양한 리듬의 복합화가 진화의 고도화였습니다.
우리는 단순한 5박 8박에서 무한히 고도화하여 교향악으로 프랙탈하게 진화해 가는 것을 봅니다.
2. "수학과 경험은 일치하지 않을 수 있다."는 말씀에서
선택공리와 연속체 가설은 불가사의의 세계인 것 같습니다.
불가사의는 인간의 감각과 경험으로 알 수 없는 세계라는 뜻이라고 볼 수 있을 것입니다.
불교 경전 중에 유마경 불가사의품(不可思議)에 보면
가로 세로 9자*9자 되는 방에 가로 세로 유순(불교의 길이 단위 : 1유순은 7~9마일)단위의 평상이 12개 이상이 들어가고, 그 위에 유마힐과 문수보살과 10대 제자가 그 평상위에 앉아 대화를 나눈다는 내용과
이 세계(사바세계)를 겨자씨 안에 넣어도 온갖 짐승과 새들과 바다 속에 물고기들이 겨자씨 안에서 비좁은 줄 모른다는 내용이 있습니다.
이것을 수로 해석하면 큰 집합이 작은 집합 속에 들어 갈 수 있다는 뜻이 되는 것 같습니다.
무한의 신비에 나오는
콩 하나와 선택공리만 있으면 태양을 만들 수 있다는 비유와 비슷한 면이 있는 것 같습니다.
매우 큰 집합의 부분집합들 각각이 작은 집합의 단 하나의 점을 선택한다는 의미라는데 프랙탈 구조를 보면 알수 있을 것 같습니다.,
연속체가설은
무한의 차원이 연속되며, 가장 큰 차원이 존재하는가 하는 칸토어가 고민하셨던 내용이 있는데,
이 내용을 비유적으로
입자가 무한개 모여서 우리가 생각하는 시공時空이 되었는데,
더 높은 차원의 세계는 이 시공을 하나의 입자로 삼아 무한개의 시공으로 새로운 큰 시공이 되는가 하는 비유적인 생각으로 이해해도 될까요.
자연수 전체 집합인 알레프0에서부터 실수 전체 집합인 알레프1을 거쳐
알레프2, 알레프3, ............이렇게 커지고,
그리고 알레프1을 칸토어는 c라고 이름 짓습니다.
칸토어는 C가 신의 궁전일 것으로 생각했는데,
칸토어는 C를 연구하다가 정신병에 걸립니다.
그런데 괴델도 칸토어처럼 C를 연구하다 정신병에 걸립니다.
‘무한의 신비‘는 마지막 장에서 “수는 실제로 존재하는가?” 하는 질문을 합니다.
우주론 하는 분들은 우주는 경계가 없다고 합니다.
즉 시작이나 끝이나 중심이 없다고 하는 뜻이라는데,
수학적으로 표현하면 무한과 무한소가 서로 회통한다고 생각할 수 있을까요.
가무한과 실무한이라는 개념도 나오는데,
가무한은 급수와 급수를 이용한 미적분에 이용되는 무한의 개념인데, 고대 희랍 수학자들이 면적과 부피를 계산하는데 쓴 개념이라고 합니다.
저는 가무한은 사진 찍기라고 생각했습니다.
실무한을 순간 고정하기. 살아있는 자연을 그대로 보기 곤란하니까 순간적으로 고정시켜서 관찰하는 것이라고 생각합니다.
사랑하는 이의 얼굴이 잘 떠오르지 않아서 사진을 초상화작가에게 보내니 아주 그럴 듯한 그림을 보내옵니다.
그사람을 본적도 없는 이를 잘 그리는데 나는 왜 못 그리는가.
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