17세기 수학자들
물체를 자유낙하시킬 경우 관계식은 h=1/2gt² (h:떨어진 거리, g:중력가속도, t:낙하시간)이라는 관계식이 성립한다. 예를 들어 정확히 4초 후에 속도(속력)를 재려 한다고 하자. 만일 순간 대신에 일정 시간을 흘려보낸 뒤 그 사이 떨어진 거리를 흘려보낸 시간으로 나누면 그 시간 동안의 평균속도를 얻는다. 이제 낙하 후 1/2초가 경과한 후 평균속도를 계산하고, 또 1/4초가 경과되었을 때의 평균속도를 계산하며, 다시 1/8초가 경과되었을 때의 평균속도를 계산한다. 이런 식으로 계속할 때 경과 시간을 짧게 잡으면 짧게 잡을수록 평균속도는 정확히 낙하 후 4초가 되는 바로 그 순간의 속도에 더욱 근접하게 된다. 이렇게 얻어진 값은 원함수의 도함수라고 하는 함수에 t=4를 대입한 값에 해당한다.
구체적으로 기호로 바꿔 설명하면 다음과 같다. t=4일때 h=80(m)(편의상 g=10m/s²이라 한다), Δt를 시간의 증분이라고 하자. 시간이 4+Δt라고 하면 물체는 80m를 지나 Δh만큼 떨어진 것이다.
80+Δh=1/2*10*(4+Δt)² 이 성립한다.
정리하면 80+Δh=5Δt² +40Δt +80
Δh= 40Δt +5Δt² 양변을Δt로 나누면
Δh/Δt = 40+5Δt
Δt를 거의 0에 가까운 짧은 순간이라고 하면 0으로 둘 수 있다. 이때 t=4초일때 순간속도는 40m/s인 것을 알 수 있다.
그런데 여기서 모순점이 발견된다. 처음에 Δt를 0이 아니라는 가정 하에 양변을 Δt로 나누었고, 마지막 결론에서는 0으로 놓아 결론을 이끌어 낸 것이다.
도함수의 수학적 체계화는 페르마를 통해 이루어졌으며, 그의 체계화가 널리 받아들여지게 되었지만, 이러한 과정에 대해 페르마는 계산의 근거를 제시하지 않았다.
미적분학의 창시자들은 정적분의 문제에 있어서도 논리적 체계를 갖추지 못했다. 정적분으로 넓이와 부피를 알아내는 초기의 연구 가운데 카발리에리의 성과가 주목할 만한데, 그 이유는 그의 연구가 수많은 동시대인들과 이후의 사람들에게 영향을 미쳤기 때문이며, 또 당시의 애매모호한 사고의 전형을 보여 주기 때문이다. 그는 더 이상 나눌 수 없는 단위 영역을 분할 불가능 영역이라고 불렀으며, 아마도 그것은 선이 될 것이라고 생각했다. 목걸이가 구슬로 만들어져 있고 옷감이 실로 짜여 있듯이, 또 책이 수백 쪽으로 이루어져 있듯이, 영역은 분할 불가능 영역으로 이루어져 있다고 설명했다. 그는 “엄밀함은 철학의 관심사이지 기하학의 관심사가 아니다”라고 말했다.
파스칼은 카발리에리를 옹호했다. 그는 미적분학에 등장하는 기하학의 역설은 얼핏 보기에 불합리하게 보이는 그리스도교의 진리와 비슷하며 기하학의 분할 불가능 영역은 하나님의 정의와 비교했을 때 인간의 정의가 지니는 만큼의 값어치를 갖고 있다고 여겼다. 그는 “우리는 이성으로 진리를 알 뿐만 아니라 감성으로도 진리를 안다”고 했다.
뉴턴은 적분의 개념에 대해서는 별다른 성과를 내지는 않았지만 도함수는 매우 심도있게 사용했다. 도함수를 얻는 방법은 페르마와 본질적으로 동일했고 기본개념의 논리적 정당화 면에서도 페르마보다 나을 것이 없었다.
