움직이는 세계를 이해하기 위한 정지의 미학, 무한 그리고 미적분

 끊임없이 바뀌고, 움직이고, 교체되며, 사라지고, 나타나는 것이 우리를 둘러싼 세상의 모습이다. 움직임은 어디에나 존재하고, 그것이 없다면 세계는 존재하지 않을 것이다. 하지만 움직이는 그 자체를 이해하기 위해서 우리의 해상도는 너무 낮은 것이 아닐까? 그러나 우리의 상상력은 그것을 인정하지 않는다.

 변화의 세계에서 우리가 잡아낼 수 있는 것은 마치 스냅 사진과 같은 한 장의 정지된 화면이며, 그 세계 속에서 추상을 활용해서 이해하려는 인간의 노력으로 수학이 만들어졌을 것이다. 무진장한 바뀜의 세계를 경탄하는 것이 언어의 마술이라고 한다면, 바뀜의 줄기 즉, 변화의 양상을 추적하고 추상하려는 노력이 수학과 과학의 매력이라고 할 수 있다.

 늘 세상은 수학의 본질적 성격인 정적(static)수렴을 통해 수, 점, 선, 방정식 등으로 포착되었다. 그러나 드디어 운동을 이해하려는 인간의 호기심은 뉴턴과 라이프니츠라는 매개를 통해 우리의 해상도를 높여주게 되었다. 또 그 기초에는 운동과 변화의 본성을 밝히기 위해 ‘무한’의 사유가 내재되어 있다. 이러한 과정을 통해 관찰된 대상의 패턴을 매끄럽게 이해하는 데에는 미적분의 기법이 총동원되어야 하는 것이다.

 

 고대 무한의 사유는 피타고라스 Phythagoras(약 569-500B.C.)에 의해 제기되었고, 그 최초의 예는 제논 Zeno(495-435B.C.)의 패러독스이다. 제논은 패러독스를 통해 공간과 시간이 무한히 분할될 수 있다고 가정하면서 운동이 불가능하다고 추론했다. 무수히 많은 단계를 합해도 유한한 수의 답이 나온다는 이 놀라운 결과는 "수렴 converguence" 이라고 불린다.

 피타고라스는 범자연수 whole numbers와 그 비율만 있으면 완전한 수학 체계가 구성될 수 있으며, 그 체계에서 기하학적 원소는 수와 대응한다는 것을 발견했다. 그러나 무리수 irrational numbers의 발견으로 피타고라스 학파는 위기를 맞게 된다. 오늘날 우리가 알고 있는 피타고라스 학파의 내용은 피타고라스 사후에 태어난 필로라오스 등의 저술 덕분이다. 무리수의 비밀이 알려진 이후 기하학은 본격적인 기하학이 탄생하게 되며, 그것은 피타고라스 사후 약 25세기가 흐른 후 무한의 단계 orders of infinity를 발견하는 데 결정적인 역할을 하게 된다.

 피타고라스의 영향을 받은 플라톤과 그의 제자들에게 ‘수’는 기본적 개념이었으나, 기하학이라는 더 넓은 맥락에서 조망되었다. 이를 통해 무한에 대한 이해를 진전시켰다는 것이 플라톤 아카데미의 가장 위대한 수학적 기여였다.

 이후 에우독소스 Eudoxus(408-355B.C.)와 아르키메데스 Archimedes(287-212B.C.) 두 위대한 수학자에 의해 무한의 개념이 발전하게 된다.

에우독소스는 극한 과정 limit process 라는 아이디어를 사용하여 곡면의 넓이와 부피를 계산했으며, 이러한 과정은 가무한 potential infinity의 개념을 탁월하게 도입한 것이었다. 아르키메데스는 에우독소스의 아이디어를 더욱 확대해서, 무한소 infinitesmal의 양을 사용하여 넓이와 부피를 구하는데 가무한을 이용했다.

 피타고라스와 제논, 에우독소스, 아르키메데스 등이 무한의 개념을 발견한 이후 약 2천년간 무한의 수학적 속성은 새롭게 추가된 내용이 없는 것은 놀라운 일이다.