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2009.03.29 07:56

괴델의 농담

조회 수 1976 추천 수 0 댓글 5
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괴델께서 말씀하시길

불확정성 원리로서,

제1 정리의 결론은

"모순없는 수학적 형식체게가 있다고 할 때,  그 체게 안에는 참이면서 동시에 증명이 불가능한 명제가 존재한다."

 

제 2정리는

"수론에 적합한 어떤 형식체계의 모순성은  그  체계 안에서는 증명할 수 없다."

 

그렇다면 그 발표 당시에  내가 그 자리에

있었다면 괴델께 이렇게 물었을 것입니다.

.

" 박사님의 그 정리는

증명이 가능한 것입니까,

증명이 불가능한 것입니까.

.

박사님의 제 1 정리와 제 2정리에 의하여  증명이 불가능할 것 같은데요.

박사님 자신이 거짓말장이 파라독스의  주인공이시네요. 

더구나 성립하지도 않는 칸토르의 대각선 논법에서 온 것이지 않습니까.

.

방금하신 발표는 박사님의 농담이신가요?"

.

.

^   ^

 
  • ?
    김경근 2009.03.29 07:56
    골드바흐의 정리를 증명하려했던 한 수학자가 생각나는군요
  • ?
    전승철 2009.03.29 07:56
    이기두 선생님의 아이디어에서 배울점이 많습니다. 괴델에게 괴델식으로 질문을 한다는 것이 저같은 경우에 잘 생각되지 않거든요.
    마침 괴델에 대한 책을 보고 있는데요. 요시나가 요시마사의 불완전성 정리(전파과학사), 레베카 골드스타인의 불완전성(승산) 괴델에 대해서 도움이 될 것 같습니다.
    불완전성이 의미하는 것이 수학의 기반을 이루는 증명과 그것을 토대로 쌓아올려진 수학체계 전체의 진위에 대한 논증가능성에 대한 한계를 지적한다고 볼수있습니다.
    물론 불완전성이 옳다는 입장이라도 곧바로 수학적 증명들을 틀렸다고 부정하지는 않습니다. 그것들이 참인지 거짓인지 확고하게 논증할 수 없는 인간인식의 모순(한계)점들이 존재한다는 의미니까요.
    이기두선생님이 쓰신 몇편의 글을 통해 권위적인 해석에 대해 얼마든지 아카데미적인 통찰과 질문이 가능하다는 것을 깨닭게 되었습니다.
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    이기두 2009.03.29 07:56
    어려운 용어와 어려운 수식 때문에 불완전성정리 자체는 모르겠는데
    대각선논법과 같은 방법을 도입하는 부분에서
    뭔가 첫단추가 잘못 끼워진 것이 아닌가 하는 의문이 계속 머리속에 맴돌아서
    임금님이 누드라고 외친 아이의 심정이 되어보았습니다.

    칸토르가 대각선논법으로 셀수있는 무한과 셀 수 없는 무한을 나누듯이
    대각선을 이용해서 증명가능과 증명불가능을 나눈다면 똑같이 오류에 빠질 것이라고 생각합니다.
    수 전체의 모습은 남는 사족도 없고
    부족한 부분도 없이 완전한 하나의 모습임이 분명하니까요.
    대각선 논법이 성립할려면 수의 자릿수와 수의 개수가 표를 만들었을 때
    정사각형이어야 하는데,

    초한수 < 2^초한수-1
    로 직사각형이므로
    대각선 논법이 성립하지 않고,

    괴델의 불완전성정리도
    논리식의 개수와 수를 1:1 대응을 시키는 발상에도
    과연 대응이 가능한지 불가능한지에 대한 증명이
    먼저 되어야 한다는 생각입니다.

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    procom 2009.03.29 07:56
    올렸던 글 지웠습니다. 제가 너무 흥분했던 것 같습니다.
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    김원기 2009.03.29 07:56
    먼저 위의 표현에서 제2정리를 말씀하실 때 "형식체계의 <무>모순성을 그 체계 안에서는 증명할 수 없다"고 쓰셔야할 것을 실수하신 듯 합니다.

    댓글에서 말씀하신 "의도"는 어느 정도 이해가 됩니다만, 본문에서 "괴델 자신의 증명을 괴델에게 적용시킨다"는 건 기본적으로 무의미한 이야기라고 여겨집니다. 전혀 모순이 되지 않는 이야기거든요. 아주 단순하게 설명하면, 괴델 증명은 "산술 체계"에 대한 증명이고 괴델의 증명은 "산술 체계" 자체는 아니므로, 자신에게 적용될 이유가 전혀 없는 것이죠. 괴델의 정리는 확고하게 증명이 된 것입니다. "참이면서 증명불가능한 명제가 있다"라는 명제는 참이고 증명된 겁니다.

    칸토르의 대각선 논법은 잘못 이해하고 계신 게 맞습니다. "수 전체의 모습은 남는 사족도 없고 부족한 부분도 없이 완전한 하나의 모습임이 분명하다"라는 건, 수학적 명제가 아닙니다.

    다시 부연하자면, 여전히 칸토어의 증명이 틀렸다고 주장하는 사람들이 나타나긴 합니다만, 그건 의식적으로 선택공리, 무한공리 등을 포함하는 표준적인 공리계를 반대하는 입장(직관주의자들처럼 말입니다)에서 대안적인 입장을 내세울 때가 아니라면, 마치 크로네커처럼 여전히 심정적인 반감(무한에 여러 종류가 있다는 사실을 납득하기 어려운 사람들)인 경우가 적지 않은 듯합니다.

    "대각선 논법이 성립하려면 수의 자릿수와 수의 개수가 표를 만들었을 때 정사각형이어야" 하진 않습니다. 표를 그리는 건 직관적인 이해를 위해서 그린 것뿐이고, 표를 전혀 사용하지 않고도 증명이 가능합니다. 구간 축소법이라는 방식으로, 즉 공리적인 방식으로도 증명이 가능하기 때문이죠.

    수학에 대한 비형식적 접근에는 한계가 분명히 있습니다. 탐구열에 대해서 감탄할 뿐이지만, 스스로 어디서 잘못되었는지 알 수 없는 공부라면 조금 위험한 것이 아닐까 우려를 가지게 됩니다.

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